Funzione omografica – definizione e casi particolari

In questo appunto di geometria Analitica, parleremo della Funzione Omografica, dandone prima la definizione e poi analizzandone le proprietà fondamentali.

La funzione omografica

In particolare, in Geometria Analitica, si definisce funzione omografica una qualsiasi funzione avente forma:

dove

, ovvero sono coefficienti reali e costanti. Inoltre, affinché la soluzione ammetta una soluzione reale, è necessario che il denominatore sia diverso da zero. Quindi, oltre a dire che questi coefficienti sono reali e costanti, dobbiamo aggiungere che: cioè entrambi i coefficienti devono esseri diversi dal valore nullo.
In generale, a seconda dei valori assunti dalle costanti , la funzione omografica porta alla rappresentazione di diversi tipi di luoghi geometrici nel piano cartesiano,ovvero:

• una retta,
• una retta orizzontale,
• un'iperbole equilatera.

Nei prossimi paragrafi vedremo nel dettaglio questi tre casi.

Funzione omografica: retta

Se allora, la funzione omografica diventa:

Questa non è altro che l’equazione di una retta avente coefficiente angolare

e ordinata all’origine, dove sono definiti come:

Per meglio comprendere quanto detto, possiamo anche scrivere l’equazione di sopra nella sua forma esplicita, mettendo in risalto la variabile x:

In questo caso è ancora più evidente la condizione di esistenza che abbiamo visto prima, cioè quella secondo cui è necessario che sia

affinché la soluzione esista, viceversa l’equazione non avrebbe significato.
Tuttavia, non dobbiamo confondere la condizione appena enunciata con il dominio della funzione. Infatti, se scriviamo l’equazione omografica sottoforma di un’espressione analitica di una funzione reale in variabile reale, ovvero scriviamo che:

Il dominio di questa funzione è l’insieme dei numeri reali

, cioè la funzione esiste per qualunque valore di . In altre parole, possiamo dire che per qualunque valore di possiamo ottenere un valore . Questo perché nella funzione in esame, la variabile x non compare a denominatore, bensì al numeratore della frazione, di conseguenza può assumere qualunque valore, restituendo sempre un valore associato di .
Nel prossimo paragrafo vedremo un altro caso particolare di funzione omografica, ovvero quello della retta orizzontale.

Funzione omografica: retta orizzontale

Ritornando all’analisi dei coefficienti, possiamo notare che, nel caso specifico in cui , l’equazione omografica si riduce all’equazione di una retta orizzontale, cioè parallela all’asse delle ascisse.
Un caso particolare di questa funzione è quella in cui e poiché si ottiene una retta orizzontale in tutto tranne nel punto di coordinate: . Infatti, se sostituiamo questi valori nella nostra espressione matematica, otterremo che per tutti i punti in cui .
Inoltre, è interessante notare che non è mai possibile ottenere una retta verticale a partire da un’equazione omografica. In altre parole, qualunque siano i valori di , non è mai possibile ottenere una retta verticale, cioè parallela all’asse delle ordinate.
Nel prossimo paragrafo vedremo invece, il caso in cui una funzione omografica rappresenta graficamente un’iperbole equilatera.

Funzione omografica: iperbole equilatera

Prima di entrare nel dettaglio e parlare del caso relativo all’iperbole equilatera, vi consiglio di fare un ripasso sull’ equazione di un iperbole ed, in particolare di un iperbole equilatera. Fatto ciò, possiamo tornare all’ultimo caso della funzione omografica.
Vediamo adesso il caso in cui e . In questo caso la funzione omografica rappresenterà graficamente un’ iperbole equilatera riferita ai propri asintoti e traslata. Ovviamente, è necessario imporre le condizioni di e in modo tale da poter escludere dalle possibili rappresentazioni della funzione omografica, l’equazione di una retta.
Ad ogni modo, ritornando all’iperbole equilatera abbiamo che, in questo caso, gli asintoti non coincidono con gli assi cartesiani, ma sono paralleli ad essi e passanti per un punto che chiamiamo . In particolare, il punto è detto punto di simmetria della curva in quanto centro di simmetria dell'iperbole, ed ha coordinate: .
Allo stesso modo possiamo dire che le equazioni degli asintoti dell’iperbole equilatera sono:

Come potete vedere si tratta di un asintoto verticale ed uno orizzontale, cioè paralleli rispettivamente all’asse delle ordinate e all’asse delle ascisse.

È importante, inoltre, determinare il valore della costante

, pari a:

Questa costante permette di determinare le coordinate dei vertici e dei fuochi dell’iperbole equilatera. Infatti, noto

, possiamo dire che, se allora:

Mentre le coordinate dei fuochi saranno:

Viceversa, se

allora le coordinate dei vertici saranno:

Mentre quelle dei fuochi:

In pratica, quando

si utilizza semplicemente il valore assoluto all’interno della radice quadrata in quanto l’argomento della radice non può essere negativo.
Nel prossimo paragrafo sono presenti dei link di approfondimento sugli argomenti citati in questo appunto.

Approfondimenti

In questo paragrafo sono riportati dei link di approfondimento e ripasso di quanto detto/menzionato nei paragrafi precedenti:

• campo di esistenza di una funzione
• equazione di una retta
• iperbole equilatera
• radice quadrata di un numero negativo