Coniche: storia, definizione e classificazione

In questo appunto si parla delle sezioni coniche, in particolare si darà la definizione e si farà la classificazione in coniche degeneri e non degeneri. Verrà mostrata anche l’equazione di una conica.

Cos'è una sezione conica: definizione e loro classificazione

Le sezioni coniche, più semplicemente chiamate coniche sono una famiglia di sezioni o di particolari curve piane che si ottengono intersecando un piano e un cono circolare retto a due falde.
Le sezioni coniche si possono classificare in:

• Coniche non degeneri;
• Coniche degeneri .

Prima di andare a spiegare tutte le varie tipologie di coniche, dobbiamo andare a definire che cos’è un cono a due falde.
Consideriamo una retta verticale, detta asse del cono, e su tale retta fissiamo un punto

detto vertice del cono.
Ora tracciamo una circonferenza perfettamente perpendicolare alla retta ed avente il centro sempre sulla retta.
Il cono a due falde è la superficie formata da tutte le rette che passano per il vertice e per un punto qualsiasi sulla circonferenza.
Le rette che intersecano questi due punti si chiamano rette generatrici del cono.

Coniche non degeneri

Le sezioni coniche non degeneri sono:

• la circonferenza: essa può essere ottenuta tagliando il cono a due falde con un piano ortogonale al suo asse.
  La circonferenza viene definita come un luogo di punti equidistanti da un punto definito centro.
• L'ellisse è ottenuta tagliando il cono con un piano che ne interseca l'asse in modo obliquo, formando angoli acuti o retti, quindi angoli minori o uguali a
  [math]90°[/math]
  .
  L’ellisse è definita come il luogo dei punti aventi la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi costante.
• l'iperbole viene realizzata tagliando il cono con un piano inclinato rispetto all'asse di un angolo superiore dell'angolo del cono.
  L’angolo del cono è l’angolo che si forma tra l’asse del cono ed una qualsiasi delle due rette generatrici.
  L’’iperbole rappresenta un insieme dei punti aventi la differenza tra le distanze rispetto a due punti fissi costante.
• la parabola è ottenuta sezionando il cono mediante un piano avente inclinazione rispetto all'asse pari all'angolo del cono, e quindi parallelo alle rette che lo generano.
  La parabola può essere definita come l'insieme dei punti aventi la stessa distanza da una retta chiamata retta direttrice e da un fuoco.

Per ulteriori approfondimenti sulla circonferenza vedi anche qua

Coniche degeneri

Le sezioni coniche non degeneri sono:

• Un punto: si ottiene quando il piano forma con l’asse del cono un angolo maggiore dell’angolo del cono.
  Esso corrisponde al vertice del cono.
• Una retta si ottiene se il piano forma con l’asse del cono un angolo uguale all’angolo del cono; in questo caso la retta che si ottiene coincide con una retta generatrice del cono.
• Una coppia di rette si ottiene quando il piano forma con l’asse un angolo minore dell’angolo del cono; in questo caso le due rette sono incidenti e il loro punto di intersezione coincide con il vertice del cono.

Equazione delle coniche

L’equazione di una conica è un’equazione di secondo grado in due variabili reali, ha la seguente forma:

Considerando una conica non degenere, a seconda dei coefficienti si può avere:

• [math] b^2 - ac = 0 [/math]
  allora si avrà una parabola;
• [math] b^2 - ac > 0 [/math]
  allora si avrà un’ellisse;
• [math] b^2 - ac > 0 [/math]
  allora si avrà un’iperbole;

Un po’ di storia

Alcuni passi storici fondamentali furono:

• Pappo di Alessandria con “le collezioni”;
• [math]'600[/math]
  con Pascal, Descartes, Wallis;
• Galileo mostra che la traiettoria di un proiettile è una parabola;
• Keplero nel 1609 mette fine a 2 millenni di teorie astronomiche basate sul moto circolare dei pianeti dichiarando che le orbite dei pianeti sono ellissi, di cui il sole occupa il posto di un fuoco (osservazione poi dimostrata da Newton nel 1680).

Non rimane nient’altro da sapere come tagliare il piano per ottenere le coniche.
Per quanto riguarda la circonferenza: il piano secante è perpendicolare all'asse del cono.

L’angolo del cono è di 90 gradi, è l'angolo tra il piano secante e l'asse di simmetria.
L’ellisse si ottiene inclinando il piano secante, termine che deriva dal greco e significa “lascia mancare”, l'angolo considerato è inferiore rispetto all'angolo del cono.
Per quanto riguarda la parabola: significa uguagliare, i due angoli risultano uguali, il piano secante risulta parallelo alla retta generatrice e quindi si forma questa curva aperta.
Per quanto riguarda l’iperbole: significa oltrepassare, quando l’angolo considerato è maggiore di dell’angolo del cono, apertura del cono supera l'angolo che forma con l'asse A quindi l'angolo alfa. Si forma curva fatta da due rami.