Triangoli nel piano cartesiano: come verificare che essi siano rettangoli

In questo appunto è presente una breve ricapitolazione sui triangoli con un approfondimento sulla strategia da applicare per verificare se un triangolo sia rettangolo.

Cosa sono i poligoni e cos'è un triangolo

In geometria esistono dei concetti basilari chiamati enti fondamentali, ossia la retta, il punto e il piano.
Il poligono è una porzione di piano delimitata da una linea spezzata chiusa, ossia da un insieme di punti costituito da segmenti consecutivi aventi direzioni differenti.
Sono poligoni tutte le figure bidimensionali come i triangoli, i quadrati, i rettangoli etc.

I triangoli, in particolare, sono dei poligoni aventi tre lati e tre angoli.

A seconda delle proprietà di tali elementi, i triangoli possono essere suddivisi in categorie.
Studiando le caratteristiche dei dati è possibile suddividere i triangoli in:

• triangoli equilateri, i quali hanno tutti e tre i lati e tutti e tre gli angoli congruenti
• triangoli scaleni, aventi angoli e lati tutti diversi
• triangoli isosceli, aventi due lati congruenti e i due angoli alla base di uguale ampiezza

Studiando le caratteristiche degli angoli, invece, si riconoscono le seguenti categorie:

• triangoli rettangoli, ossia triangoli aventi un angolo retto
• triangoli ottusangoli, cioè triangoli aventi un angolo ottuso (ampiezza maggiore di
  [math]90°[/math]
  )
• triangoli acutangoli, aventi tutti gli angoli acuti (ampiezza minore di
  [math]90°[/math]
  )

Cos'è un triangolo rettangolo e quali sono le principali formule

I triangoli rettangoli sono dei triangoli particolari: grazie alla presenza dell'angolo retto è possibile applicare importanti teoremi come il Teorema di Pitagora. Il Teorema di Pitagora consente di calcolare la lunghezza dell'ipotenusa avendo noti il cateto minore e il cateto maggiore.

Per quanto riguarda il calcolo del perimetro e dell'area del triangolo, le formule da utilizzare sono piuttosto semplici. Il perimetro è pari alla somma della lunghezza dei tre lati, mentre nel caso dell'area si applica la formula

. Nei triangoli rettangoli, l'altezza corrisponde al cateto perpendicolare all'altro.

Come verificare se un triangolo è rettangolo nel piano cartesiano

Un triangolo rettangolo ha un angolo di

perciò i due lati che lo delimitano sono tra loro perpendicolari. Come si fa a verificare, assegnati i tre vertici, che si tratta di un triangolo rettangolo?

Scopriamolo con un problema semplice il cui testo è il seguente: verificare se il triangolo avente vertici in

è rettangolo. Calcolarne poi l’area.

Come procediamo? Utilizziamo il teorema di Pitagora. In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui due cateti. In altre parole le misure dei suoi lati devono costituire una terna pitagorica, ovvero se indichiamo con

e

i due cateti con I l’ipotenusa, allora per il teorema di Pitagora deve essere:

Ad esempio i numeri

sono una terna pitagorica, si ha infatti:

cioè:

Calcoliamo dunque la misura dei tre lati, ne facciamo i quadrati e verifichiamo se costituiscono una terna.
Nel piano cartesiano andiamo a rappresentare correttamente i tre punti che sono i vertici del nostro triangolo.

Come misurare il lato

[math]AB[/math]

Usiamo la formula completa per la misura della distanza tra due punti nel piano:

Come misurare il lato

[math]BC[/math]

Riutilizziamo la formula:

Come misurare il lato

[math]AC[/math]

Dei tre lati il maggiore è

, quindi si tratta dell’ipotenusa.
Verifichiamo la terna:

Ora possiamo calcolare l’area come semiprodotto delle due dimensioni:

Per ulteriori approfondimenti sui triangoli rettangoli vedi anche qua