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Come verificare se un triangolo è rettangolo nel piano cartesiano


Un triangolo rettangolo ha un angolo di 90° perciò i due lati che lo delimitano sono tra loro perpendicolari. Come si fa a verificare, assegnati i tre vertici, che si tratta di un triangolo rettangolo?
Scopriamolo con un problema semplice il cui testo è il seguente:
“Verificare se il triangolo avente vertici in A=(1;-1), B=(3;-2), C=(-41/5;-43/5) è rettangolo.
Calcolarne poi l’area”
Come procediamo?
Utilizziamo il teorema di Pitagora:
In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalerne alla somma dei quadrati costruiti sui due cateti. In altre parole le misure dei suoi lati devono costituire una terna pitagorica, ovvero se indichiamo con C e c i due cateti con I l’ipotenusa, allora per il teorema di Pitagora deve essere:
[math]I^2=C^2+c^2[/math]

Ad esempio i numeri 3,4,5 sono una terna pitagorica, si ha infatti:

[math]5=2^=3^2+4^2[/math]

cioè:
[math]25=9+16[/math]

Calcoliamo dunque la misura dei tre lati, ne facciamo i quadrati e verifichiamo se costituiscono una terna.
Nel piano cartesiano andiamo a rappresentare correttamente i tre punti che sono i vertici del nostro triangolo.
Misura del lato AB.
Usiamo la formula completa per la misura della distanza tra due punti nel piano:

[math]AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}[/math]

[math]AB=\sqrt{(3+1)^2+(-2-1)^2}[/math]

[math]AB=\sqrt{16+9}[/math]

[math]AB=\sqrt{25}u=5u[/math]

Misura di BC
Riutilizziamo la formula:

[math]BC=\sqrt{(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2}[/math]

[math]BC=\sqrt{(-\frac{41}{5}-3)^2+(-\frac{43}{5}+2)^2}[/math]

[math]BC=\sqrt{(\frac{56}{5})^2+(\frac{33}{5})^2}[/math]

[math]BC=\sqrt{\frac{4225}{25}}[/math]

[math]BC=\sqrt{169}[/math]

[math]BC=13u[/math]

Misura di AC

[math]AC=\sqrt{(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2}[/math]

[math]AC=\sqrt{(-\frac{41}{5}+1)^2+(\frac{43}{5}-1)^2}[/math]

[math]AC=\sqrt{(\frac{36}{5})^21+(\frac{48}{5})^2}[/math]

[math]AC=\sqrt{\frac{3600}{25}}[/math]

[math]AC=\sqrt{144}=12u[/math]

Dei tre lati il maggiore è BC, quindi si tratta dell’ipotenusa.
Verifichiamo la terna:

[math]I^2=C^2+c^2[/math]

[math]13^2=12^2+5^2[/math]

[math]169=144+25[/math]

Ora possiamo calcolare l’area come semiprodotto delle due dimensioni:
[math]Area =\frac{C*c}{2}[/math]

[math]Area =\frac{12*5}{2}[/math]

[math]Area=30u^2[/math]


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