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Come calcolare l’area di un triangolo nel piano cartesiano


Possiamo usare il piano cartesiano per calcolare l'area di un triangolo pur non conoscendo tutte le formule della geometria analitica.
Otterremo l’area del nostro triangolo per differenza di aree.
Esempio numerico.
Dati i punti A(-1,2), B(0,3), C(4,-1), calcolare l’area del triangolo da essi delimitato.

Come prima cosa inseriamo le coordinate dei tre punti A,B,C nel piano cartesiano uniamo i punti e costruiamo il nostro triangolo rappresentato in blu.


Dai vertici A,B,C tracciamo le rette parallele agli assi cartesiani e intersecando queste rette tra loro si forma un'altra figura che racchiude al suo interno il triangolo. Si tratta di un rettangolo i cui vertici sono i punti d’intersezione delle 4 rette tracciate: I,C,H,G, le cui coordinate sono facilmente individuabili nel piano cartesiano. Evidenziamo anche l'area intorno al triangolo ABC, in un colore diverso.



Indichiamo con IC una dimensione e CH l’altra. L’area del rettangolo è data dal prodotto di queste due dimensioni:

[math]IC=5u[/math]

[math]CH=4u[/math]

Area del rettangolo ICHG:

[math]A_{ICGH}= 5u*4u=20u^2[/math]


Osservando attentamente la figura vediamo che intorno all'area incognita l'area blu, ci sono tre triangoli rettangoli: BCH, AIC, ABG. Anche di questi tre è possibile calcolare l'area perchè le dimensioni sono tutte note. Osserviamo pure che il triangolo BCH è anche isoscele.
Una volta calcolate queste aree le sommiamo e le sottraiamo all’area del rettangolo esterno.
Procediamo quindi a calcolare le aree dei tre triangoli.

Area del triangolo ABG
I due cateti sono:

[math]AG=3u[/math]

[math]GB=1u[/math]

[math]A_{ABG}=\frac{C*c}{2}=\frac{3}{2}=1,5u^2[/math]

Area del triangolo AIC
I due cateti sono:

[math]IC=5u[/math]

[math]AI=1u[/math]

[math]A_{AIC}=\frac{C*c}{2}=\frac{5*1}{2}=2,5u^2[/math]

Area del triangolo BCH
I due cateti sono uguali e sono pari a 4 unità

[math]A_{BCH}=\frac{C*c}{2}=\frac{4*4}{2}=8u^2[/math]

Sommiamo queste tre aree:

[math]A_{tot}=A_{BCH}+ A_{AIC}+A_{ABG}[/math]
[math]
A_{tot}=8u^2+2,5u^2+1,5u^2=12u^2[/math]

Ed ora finalmente possiamo calcolare l’area del triangolo ABC:

[math]A_{ABC}= A_{ICGH} - A_{tot}[/math]

[math]A_{ABC}= 20u^2-12u^2[/math]

[math]A_{ABC}= 8u^2[/math]


Qui il file di Geogebra
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