Calcolare perimetro e area di un rombo, noti un angolo e la diagonale maggiore

In questo appunto viene risolto un problema che richiede il calcolo dell’area e del perimetro di un rombo noti un angolo e la diagonale maggiore; per comprendere meglio la risoluzione di questo problema è utile ripassare i concetti di triangolo equilatero, della definizione e del calcolo del perimetro e dell’area del rombo.

Triangolo equilatero

Il triangolo equilatero è un particolare tipo di triangolo che è caratterizzato dall’avere tutti e tre gli angoli e i lati uguali.
Dato che la somma degli angoli interni di un triangolo è pari a un angolo piatto (180°), ogni angolo che costituisce il triangolo equilatero è caratterizzato da un'ampiezza di 60°.
L’altezza di un triangolo equilatero ha la proprietà di dividere il triangolo in due triangoli rettangoli ed equivalenti; per proprietà e formule trigonometriche è possibile dimostrare che, nota l’ipotenusa (I) di tali due triangoli equivalenti, è possibile trovare i valori dei due cateti attraverso queste formule:

Dove il cateto

è quello che costituisce l’altezza del triangolo mentre il cateto

è quello che costituisce la base del triangolo.

Rombo: caratteristiche

Il rombo è una figura geometrica piana costituita da 4 lati di uguale lunghezza.
I segmenti che uniscono due vertici opposti costituiscono le diagonali di un rombo; il rombo è costruito in modo che le due diagonali sono perpendicolari tra loro.
Queste due caratteristiche fondamentali del rombo si esplicano poi in molte altre caratteristiche; in seguito riportiamo quelle più importanti:

• ogni diagonale divide il rombo in due triangoli congruenti;
• le due diagonali dividono il rombo in 4 triangoli rettangoli congruenti;
• le due diagonali si dividono a metà a vicenda;
• le diagonali sono anche bisettrici degli angoli.

Per ulteriori approfondimenti sul rombo e sulle sue proprietà vedi anche qua

Rombo: perimetro e area

Come ogni figura piana il perimetro è pari alla somma dei lati che costituiscono la figura; dato che il rombo è costituito da 4 lati congruenti, è sufficiente conoscere la lunghezza di un solo lato per calcolare il perimetro (P) del rombo:

Per calcolare l’area del rombo è necessario conoscere i valori delle due diagonali, moltiplicarle tra di loro e dividerle per due; in seguito è riportata la formula per il calcolo dell’area (A) del rombo:

Dove: D è la diagonale maggiore mentre d è la diagonale minore.
Per ulteriori approfondimenti sulla dimostrazione del calcolo dell’area del rombo vedi anche qua.

Problema e risoluzione

Il problema considera un rombo avente un angolo con ampiezza pari a 60° e con diagonale maggiore lunga 51,96 cm.
Disegniamo un rombo ABCD, come riportato in figura, e consideriamo che l’angolo

e che la diagonale maggiore sia

Una caratteristica del rombo è che le due diagonali sono perpendicolari; ogni diagonale divide la figura in 2 triangoli congruenti, mentre le due diagonali individuano 4 triangoli retti.
Dato che le diagonali tagliano il rombo in due triangoli congruenti si ha che le diagonali si tagliano in parti uguali perciò:

Il problema richiede il calcolo del perimetro e dell’area, perciò è necessario conoscere la lunghezza di ogni lato e la lunghezza delle due basi del rombo.

Consideriamo il triangolo OCB, tale triangolo è un triangolo rettangolo in

(le diagonali in un rombo sono perpendicolari) e ha l’angolo in

che è di 30° (in un rombo le diagonali sono anche bisettrici degli angoli) perciò dato che in un triangolo la somma degli angoli interni è pari a 180° si ha che per differenza l’angolo in B (

) è di 60°:

Perciò il triangolo DCB è composto da tutti angoli di 60° e quindi è un triangolo equilatero e quindi i suoi lati sono congruenti (

); si ha inoltre che il triangolo COB è metà di un triangolo equilatero.
Come detto nella parte introduttiva un triangolo che è metà di un triangolo equilatero ha delle formule caratteristiche utili per poter trovare le dimensioni dei lati; in particolare chiamando “l” il lato CB, si ha che:

Sapendo che

si può trovare la lunghezza di

:

La lunghezza di

si può ricavare dalla formula inversa di quella riportata nella parte introduttiva perciò:

Il rombo è caratterizzato da quattro lati uguali perciò si può calcolare il valore del perimetro noto il valore di un lato (ad esempio

):

Per calcolare l’area del rombo è necessario conoscere la lunghezza delle due diagonali: una è già nota perché ci viene fornita nel testo del problema (

) mentre la seconda diagonale può essere trovata sapendo che il segmento

è la metà della diagonale minore (abbiamo detto che le diagonali di un rombo si dividono a vicenda a metà), perciò:

Note le due diagonali possiamo calcolare l’area del rombo: