Bisettrice di un angolo – costruzione e definizione

In questo appunto viene spiegato come si costruisce una bisettrice di un angolo e viene fornita la definizione di tale elemento. Per comprendere meglio la costruzione e la definizione è necessario richiamare alcuni concetti base sugli angoli e sulle semirette.

Semiretta: definizione e costruzione

Si considera una retta (insieme infinito di punti allineati, la retta quindi non ha un inizio e una fine ma è infinitamente estesa nelle due direzioni) e un punto appartenente alla retta.
Il punto divide la retta in due parti: ognuna delle due parti è una semiretta.
La semiretta è quindi ciascuna delle due parti in cui viene divisa una retta da un punto, va da sè che quindi la semiretta abbia un punto di inizio ben preciso chiamato origine (è il punto che divide in due parti la retta) e che sia infinitamente estesa in una direzione.

Angolo: definizione e costruzione

L’angolo è la parte di spazio delimitata da due semirette che hanno l’origine in comune.
Si può notare come due semirette con l’origine in comune dividono il piano in due parti, ognuna di queste due parti può essere considerata un angolo.
Le due semirette che vengono utilizzate per generare l’angolo prendono il nome di lati mentre il punto individuato dall’origine delle due semirette prende il nome di vertice.
In particolare la parte di piano che non contiene i prolungamenti delle semirette prende il nome di angolo convesso mentre la parte di piano che contiene di prolungamenti prende il nome di angolo concavo.
Per poter individuare gli angoli, in una figura ad esempio, è necessario poter attribuire un nome agli angoli. Per fare cio è necessario individuare un punto su ognuna delle due semirette (chiamiamoli A e B) e chiamiamo V il punto che rappresenta il vertice dell’angolo.
Il nome dell’angolo è costituito dalla successione di tre lettere che rappresentano un lato, il vertice e il secondo lato; l’angolo individuato è la porzione di piano che inizia dal primo lato e che viene coperta in senso antiorario fino ad arrivare al secondo lato (). Come si può intuire dalla precedente spiegazione l’ordine delle lettere è essenziale per individuare correttamente gli angoli. In generale per far capire che le tre lettere stanno a indicare un angolo si pone un accento circonflesso sopra alla lettera che rappresenta il vertice.

La bisettrice di un angolo: definizione

La bisettrice di un angolo è quella semiretta che ha come origine il vertice dell’angolo considerato e che divide l’angolo in due parti uguali; i due angoli individuati dalla bisettrice hanno quindi uguale ampiezza.
La bisettrice di un angolo è individuata da una ben definita semiretta perciò si dice che essa è unica; dato un angolo esiste una e una sola semiretta che corrisponde alla bisettrice.
In geometria esistono diversi esempi in cui è utile introdurre in concetto di bisettrice, uno di questi esempi è il caso di triangolo isoscele.
Consideriamo un triangolo isoscele e identifichiamo come base il lato che ha lunghezza differente rispetto agli altri due.
In questo caso l’altezza relativa alla base considerata ha la proprietà di essere anche la bisettrice dell’angolo opposto alla base; questo significa che l’altezza divide l’angolo opposto alla base in due angoli di uguale ampiezza e significa anche che, dato che si sta considerando un triangolo isoscele, la bisettrice divide il triangolo in due triangoli congruenti.
L’altezza divide la base in due parti uguali, cioè in due segmenti congruenti.

Per ulteriori approfondimenti sulle proprietà del triangolo isoscele vedi anche qua

La bisettrice di un angolo: costruzione

Consideriamo l'angolo .
La costruzione della bisettrice di un angolo può essere fatta utilizzando un compasso e seguendo le istruzioni riportate in seguito:

1. Centriamo il compasso in V, apriamolo a piacere e tracciamo un arco (una parte di circonferenza delimitata da due punti definiti estremi). Questo arco interseca i lati dell'angolo in due punti che indichiamo con C e D (figura).


2. Centriamo con la stessa apertura di compasso in C e D e tracciamo due archi che si intersecano nel punto K.
3. Uniamo infine i punti V e K.
4. La semiretta che ha come origine il punto V e che passa per il punto K è la bisettrice dell’angolo
   [math] A\widehat{V}B [/math]
   ; tale bisettrice che divide l'angolo
   [math] A\widehat{V}B [/math]
   in due parti uguali,
   [math] A\widehat{V}K[/math]
   e
   [math]B\widehat{V}K [/math]
   .

Se ad esempio l’angolo considerato ha un’ampiezza di 86° si ha che la bisettrice divide tale angolo in due angoli di uguale ampiezza perciò:
.

Esercizio

Delle seguenti affermazioni indica quali sono vere e quali sono false:
a. la bisettrice divide un angolo in due parti uguali;
b. ogni angolo ha almeno due bisettrici;
c. la bisettrice di un angolo è unica;
d. la bisettrice di un angolo è la semiretta passante per l'origine dell'angolo;
e. la bisettrice di un angolo è la semiretta che divide l'angolo in due parti uguali.

Soluzioni

(a. V; b. F; c. V; d. V; e. V)

Esercizio

Costruisci con riga e compasso la bisettrice di un qualsiasi angolo.