calcolare i limiti notevoli

Limiti notevoli


Nel calcolo dei limiti può accadere a volte di trovarsi davanti a una forma indeterminata e non riuscire a stabilire un risultato.

In alcuni di questi casi ci vengono incontro i limiti notevoli, particolari limiti di cui si conosce il valore a priori e che possono essere utilizzati per ricavarne altri.

Di seguito riportiamo i principali limiti notevoli.


[math]\begin{array} {|c|c|} \hline
limite & generalizzazione\\
\hline
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{x}=1 & \lim_{f(x)\rightarrow 0}\frac{sin(f(x)}{f(x)}=1 \\
\hline
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cosx}{x^2}=\frac{1}{2} & \lim_{f(x)\rightarrow 0}\frac{1-cosf(x)}{f(x)^2}=\frac{1}{2}\\
\hline
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^x-1}{x}=1 & \lim_{f(x)\rightarrow 0}\frac{e^f(x)-1}{f(x)}=1 \\
\hline
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\log_a{(1+x)}}{x}=\frac{1}{\ln(a)} & \lim_{f(x)\rightarrow 0}\frac{\log_a{(1+f(x))}}{f(x)}=\frac{1}{\ln(a)}\\
\hline
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(1+x)^b -1}{x}=b & \lim_{f(x)\rightarrow 0}\frac{(1+f(x))^b -1}{f(x)}=b\\
\hline
\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{logx}{x^c}=0 & \lim_{f(x)\rightarrow \infty}\frac{log(f(x))}{f(x)^c}=0 \\
\hline
\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x^k}{e^x}=0 & \lim_{f(x)\rightarrow \infty}\frac{f(x)^k}{e^{f(x)}}=0\\
\hline
\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e & \lim_{f(x) \rightarrow \pm \infty}\left(1+\frac{1}{f(x)}\right)^{f(x)}=e\\
\hline
\end{array}
[/math]

che valgono per
    [math]a>0, \ a\neq 1;\\[/math]

    [math] b \in R; \\
    [/math]

    [math]
    c>0;\\
    [/math]

    [math] k>0.[/math]

Questi limiti possono essere usati, come dicevamo prima, per il calcolo di altri limiti, ma come?

1) Il modo più ovvio è quello di attuare lecite trasformazioni alla funzione in modo da ricondurci ad una di queste scritture.
Ad esempio:

[math]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{tgx}{x}= \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{sinx}{cosx}}{x} = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{x} \frac{1}{cosx} = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{x}=1,[/math]

dove ho usato il fatto che il coseno è pari ad 1 se l'argomento è zero e il limite notevole del seno.

2) Un altro modo per utilizzare i limiti notevoli che danno 1 come risultato del limite di un rapporto, è quello di "sostituire", in opportune circostanze, una funzione con l'altra a cui si "avvicina". Cosa vuol dire?
Consideriamo uno qualsiasi dei limiti di rapporti che da come risultato 1, ad esempio

[math]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^x-1}{x}=1 [/math]
. Questo risultato ci sta dicendo che, quando la x si avvicina a zero, la funzione al numeratore e quella al denominatore si "somigliano sempre di più", tanto da dare 1 come limite. In altre parole, se abbiamo un limite del tipo:
[math]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{g(x)}=1 [/math]
diremo che la funzione al numeratore si comporta come quella al denominatore per x che tende a zero e scriveremo:
[math]f(x)\sim g(x)[/math]
.

Se vale questo, allora:
[math]\lim_{x\rightarrow 0}h(x)f(x)= \lim_{x\rightarrow 0}h(x)g(x)[/math]
,
in altre parole, se ho il limite di un prodotto tra f(x) e un'altra funzione, allora posso sostituire la g(x) alla f(x) perché so che , quando x va a zero, si comportano allo stesso modo.

Osserviamo che affinché la sostituzione sia lecita, nel limite la x deve tendere alla stessa quantità per cui è verificato il limite notevole che ho utilizzato.

Esempio:
Supponiamo di voler calcolare il limite:

[math]\lim_{x\rightarrow 0} \frac{(e^x-1)sinx}{(ln(1+x))^2}[/math]
,
che al momento è una forma indeterminata del tipo
[math]\frac{0}{0}[/math]
.
Osserviamo che stiamo cercando il limite per x che tende a 0; nelle medesime condizioni, si ha che
[math](e^x-1) \sim x,\\
sinx \sim x, \\
ln(1+x) \sim x,[/math]

quindi, sostituendo nel limite trovo che questo è uguale a
[math] \lim_{x\rightarrow 0} \frac{x\cdot x}{x^2}=1[/math]
.
NOTA: ovviamente, se si ha che per x che tende a zero,
[math]f(x)\sim g(x)[/math]
NON POSSO DIRE CHE
[math]lim_{x\rightarrow 0} f(x)-g(x)=0[/math]
!
Infatti possiamo banalmente considerare
[math]lim_{x\rightarrow \infty} \frac{x+3}{x}=1[/math]
, ma
[math]lim_{x\rightarrow \infty} x+3-x=3 \neq 0[/math]
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