In questo appunto vengono descritti i limiti notevoli. La conoscenza dei limiti notevoli è molto importante da un punto di vista operativo perché consente la risoluzione di alcune forme indeterminate. Nell’appunto si riporta una tabella dei principali limiti notevoli di funzioni goniometriche, esponenziali e logaritmiche, con relativa spiegazione al loro impiego. Sono brevemente descritti i due metodi di utilizzo, quello delle trasformazioni lecite in algebra e quello delle equivalenze asintotiche.
Per finire un esempio numerico per applicare subito i metodi.
Indice
Limiti notevoli
I limiti notevoli sono dei limiti particolari ai quali si ricorre in alcune applicazioni dell’analisi matematica perché abbreviano i passaggi algebrici nel calcolo di certe forme indeterminate.
Alcuni limiti sono facilmente risolvibili adottando particolari accorgimenti di calcolo, altri invece richiedono una maggiore elaborazione, perciò, se questi limiti sono riconducibili alle forme notevoli la loro risoluzione diventa più agevole. Nel paragrafo successivo sono elencati alcuni dei limiti notevoli più ricorrenti, in generale essi sono riconducibili essenzialmente a poche famiglie di funzioni trascendenti: le goniometriche, le esponenziali e le logaritmiche. Il primo limite della tabella è il limite del rapporto tra il seno di un angolo e la sua misura in radianti, in simboli matematici:
Questo limite si presenta nella forma indeterminata:
perché sia il numeratore che il denominatore tendono a zero.
Si dimostra che questo limite tende ad 1 quando l’ampiezza dell’angolo tende a 0.
Da questo primo limite si deducono altri limiti che si presentano nella stessa forma indeterminata come i seguenti:
Il limite notevole di
si può applicare anche quando al posto della variabile
compare una funzione
che tende zero, purché al denominatore ci sia
come riportato in tabella per la forma generalizzata.
Tabella dei limiti notevoli
limite & generalizzazione\\
\hline
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{x}=1 & \lim_{f(x)\rightarrow 0}\frac{sin(f(x)}{f(x)}=1 \\
\hline
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cosx}{x^2}=\frac{1}{2} & \lim_{f(x)\rightarrow 0}\frac{1-cosf(x)}{f(x)^2}=\frac{1}{2}\\
\hline
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^x-1}{x}=1 & \lim_{f(x)\rightarrow 0}\frac{e^f(x)-1}{f(x)}=1 \\
\hline
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\log_a{(1+x)}}{x}=\frac{1}{\ln(a)} & \lim_{f(x)\rightarrow 0}\frac{\log_a{(1+f(x))}}{f(x)}=\frac{1}{\ln(a)}\\
\hline
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(1+x)^b -1}{x}=b & \lim_{f(x)\rightarrow 0}\frac{(1+f(x))^b -1}{f(x)}=b\\
\hline
\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{logx}{x^c}=0 & \lim_{f(x)\rightarrow \infty}\frac{log(f(x))}{f(x)^c}=0 \\
\hline
\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x^k}{e^x}=0 & \lim_{f(x)\rightarrow \infty}\frac{f(x)^k}{e^{f(x)}}=0\\
\hline
\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e & \lim_{f(x) \rightarrow \pm \infty}\left(1+\frac{1}{f(x)}\right)^{f(x)}=e\\
\hline
\end{array}
[/math]
che valgono per
[/math]
c>0;\\
[/math]
Utilizzo dei limiti notevoli
Questi limiti possono essere usati, come dicevamo prima, per il calcolo di altri limiti, vediamo in che modo. Quando ci troviamo di fronte a una forma indeterminata, non possiamo dire a priori quale sia il suo comportamento limite. Infatti possiamo avere diversi casi:
-
limite infinito
limite finito diverso da 0
limite finito uguale a 0,
non esistenza del limite
Ogni forma indeterminata deve quindi essere studiata singolarmente e con molta attenzione. Quello che dobbiamo capire è se il limite che stiamo risolvendo somiglia ad una forma notevole, in tal caso possiamo attuare lecite trasformazioni alla funzione in modo da ricondurci ad una delle scritture in tabella.
Ad esempio, il limite del rapporto tra la tangente di un angolo
e l’ampiezza dell’angolo in radianti che si presenta nella forma
può essere ricondotto al primo limite notevole della tabella. Esprimendo la tangente come rapporto tra seno e coseno il limite si trasforma come segue:
Utilizzando una relazione goniometrica abbiamo trasformato il limite di partenza ottenendo un prodotto e il primo fattore è proprio il limite notevole che vale 1, mentre il secondo fattore non è indeterminato in quanto il coseno di 0° vale 1, perciò:
Limiti notevoli ed equivalenze asintotiche
Data una funzione f(x), se il suo limite per
è uguale a zero, si dice che
è un infinitesimo, per
con
che può essere finito oppure
Se due funzioni
sono entrambi degli infinitesimi per
e se il limite del rapporto delle due funzioni vale uno allora
sono definiti infinitesimi equivalenti.
Nel caso particolare di
, abbiamo:
questo risultato ci suggerisce che, quando la x si avvicina a zero, la funzione al numeratore e quella al denominatore si "somigliano sempre di più", tanto da dare 1 come limite.
Le funzioni
hanno lo stesso comportamento per x che tende a zero, e scriveremo perciò:
che si legge “f è asintotica a g”.
Questo comportamento simile vale solo nell’intorno del punto
, ovvero nell’intorno di zero.
La relazione di equivalenza asintotica può essere estesa alle operazioni di prodotto e di quoziente, non può essere estesa alla somma, al logaritmo, e all’esponenziale. Per il prodotto di due funzioni possiamo operare allora la seguente sostituzione, se f e g sono asintotiche:
In altre parole nel calcolo di un limite ogni funzione può essere sostituita da una ad essa asintotica. Questo principio è molto importante perché ci consente di calcolare il valore di un limite in modo rapido sostituendo alle funzioni le loro equivalenti di forma più semplice.
Esempio numerico
Supponiamo di voler calcolare il seguente limite:
sostituendo lo zero in tutte le x, otteniamo la forma indeterminata del tipo
. Per ciascun fattore abbiamo l’equivalenza asintotica che deriva dai rispettivi limiti notevoli:
sostituendo le funzioni equivalenti, eseguiamo l'ultimo passaggio per arrivare al valore del limite:
Per ulteriori approfondimenti sui limiti di funzioni vedi anche qua
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