Limiti per funzioni reali di variabile reale

Luca Lussardi Appunti di Analisi I

Limiti per funzioni reali di variabile reale

Definizione di limite

→ ⊆ ∈

Sia data una funzione f : E ⊆ R → R con E ⊆ R e x₀ aderente ad E; si dice che ‘ è limite di f per x che tende ad x₀ se per ogni successione x_n in E convergente ad x₀ si ha

lim f (x_n) = ‘;

n→+∞

in tal caso si scrive anche lim f (x) = ‘.

x→x₀

La definizione di limite per funzioni è quindi scaricata sulla definizione di limite per successioni;

osserviamo altresì che se x₀ è punto isolato per E e se esiste un limite di f per x che tende ad x₀

allora si ha che lim f (x) = f (x₀).

x→x₀

In realtà vale un’osservazione più generale: se f ammette limite per x che tende ad x₀ e x₀ ∈ E

allora necessariamente si ha lim f (x) = f (x₀).

x→x₀

Il limite se esiste è unico.

Proposizione (unicità del limite)

Dimostrazione. Supponiamo che f ammetta due limiti distinti ‘₁ ed ‘₂ per x che tende ad x₀; allora dovrebbero esistere due successioni x_n¹ ed x_n² entrambi convergenti ad x₀ tali per cui

f (x_n¹) → ‘₁ ed f (x_n²) → ‘₂.

Questo contraddice l’unicità del limite di successioni. Dunque anche il limite di funzioni, se esiste, è unico.

La definizione di limite di funzioni non cambia se si assume ‘ = +∞ od ‘ = −∞; inoltre la stessa definizione si applica anche nel caso in cui x₀ = +∞ od x₀ = −∞, facendo attenzione, in tal caso, al fatto che +∞ e −∞ siano aderenti ad E: si dice che +∞ è aderente ad E se per ogni M > 0 si ha (M, +∞) ∩ E ≠ ∅.

Definizione analoga vale per −∞.

Definizioni equivalenti

Vi sono vari modi per dare definizioni equivalenti di limite; per esempio nel caso in cui sia x₀ che ‘ sono finiti si ha che ‘ è il limite di f per x → x₀ se e solo se

per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale per cui per ogni x ∈ (x₀ − δ, x₀ + δ) ∩ E si ha |f (x) − ‘| < ε.

In molti testi non viene riportata tale definizione, bensì la stessa in cui si richiede che x ∈ (x₀ − δ, x₀ + δ)∩E \ {x₀}; in tal caso per far valere l’unicità del limite x₀ va assunto di accumulazione per E.

Inoltre va sottolineato che l’impostazione qui data appare molto più semplice concettualmente, poiché si fonda sulla definizione già data di limite per una successione reale.

www.matematicamente.it 1