Limiti per funzioni reali di variabile reale

Luca Lussardi Appunti di Analisi I

Limiti per funzioni reali di

variabile reale

Definizione di limite

→ ⊆ ∈

Sia data una funzione f : E con E e x aderente ad E; si dice che ` è limite di f

R R R

0

per x che tende ad x se per ogni successione x in E convergente ad x si ha

0 n 0

lim f (x ) = `;

n

n→+∞

in tal caso si scrive anche lim f (x) = `.

x→x 0

La definizione di limite per funzioni è quindi scaricata sulla definizione di limite per successioni;

osserviamo altresı̀ che se x è punto isolato per E e se esiste un limite di f per x che tende ad x 0

allora si ha che lim f (x) = f (x ).

0

x→x

0 ∈

In realtà vale un’osservazione più generale: se f ammette limite per x che tende ad x e x E

0 0

allora necessariamente si ha lim f (x) = f (x ).

0

x→x

0

Il limite se esiste è unico.

Proposizione (unicità del limite):

Dimostrazione. Supponiamo che f ammetta due limiti distinti ` ed ` per x che tende ad

1 2

2

1 entrambi convergenti ad x tali per cui

ed x

x ; allora dovrebbero esistere due successioni x 0

0 n

n

2

1 →

→ ) ` . Questo contraddice l’unicità del limite di successioni. Dunque anche

) ` ed f (x

f (x 2

1 n

n

il limite di funzioni, se esiste, è unico. −∞;

La definizione di limite di funzioni non cambia se si assume ` = +∞ od ` = inoltre la

−∞,

stessa definizione si applica anche nel caso in cui x = +∞ od x = facendo attenzione, in

0 0

−∞

tal caso, al fatto che +∞ e siano aderenti ad E: si dice che +∞ è aderente ad E se per ogni

∩ 6 ∅. −∞.

M > 0 si ha (M, +∞) E = Definizione analoga vale per

1

Definizioni equivalenti : Vi sono vari modi per dare definizioni equivalenti di limite; per es-

→

empio nel caso in cui sia x che ` sono finiti si ha che ` è il limite di f per x x se e solo se

0 0

∈ − ∩ |f −

per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale per cui per ogni x (x δ, x + δ) E si ha (x) `| < ε.

0 0

1 ∈ }∩E;

in molti testi non viene riportata tale definizione, bensı̀ la stessa in cui si richiede che x (x−δ, x+δ)\{x 0

in tal caso per far valere l’unicità del limite x va assunto di accumulazione per E. Inoltre va sottolineato che

0

l’impostazione qui data appare molto più semplice concettualmente, poichè si fonda sulla definizione già data di

limite per una successione reale.

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