In questo appunto vengono presentati gli integrali: si parte dalla definizione di integrale, si espongono le proprietà degli integrali, viene spiegato il teorema del calcolo integrale e i diversi modi di integrazione, viene inoltre proposta una lista delle primitive di alcuni integrali usati di frequente, nella parte finale vengono trattati gli integrali impropri e notevoli.
Definizione di primitiva
Si dice che una funzione
[math]F(x)[/math]
è una primitiva di
[math]f: I \to \mathbb{R}[/math]
(
[math]I[/math]
è un intervallo e
[math]f[/math]
è continua) se e solo se
[math]F'(x) = f(x)[/math]
per ogni
[math]x \in I[/math]
.
Esempio:
la funzione
[math]F(x) = x^2 + 1[/math]
è una primitiva di
[math]f(x) = 2x[/math]
.
Proprietà dell'integrale
L' integrale è caratterizzato dalla proprietà di linearità che comprende:
Proprietà di additività:
[math]\int_a^b (f(x) + g(x)) dx = \int_a^b f(x) dx + \int_a^b g(x) dx[/math]
Proprietà di omogeneità:
[math]\int_a^b k \cdot f(x) dx = k \cdot \int_a^b f(x) dx \quad \forall k \in \mathbb{R}[/math]
Additività rispetto all'intervallo di integrazione
Se
[math]a>b>c[/math]
, allora
[math]\int_a^c f(x) dx = \int_a^b f(x) dx + \int_b^c f(x) dx[/math]
Convenzione: Se
[math]a > b[/math]
allora
[math]\int_b^a f(x) dx = - \int_a^b f(x) dx[/math]
Monotonia rispeto all'integranda
Se
[math]f(x) \ge 0 \quad \forall x \in [a,b][/math]
allora
[math]\int_a^b f(x) dx \ge 0[/math]
Valore assoluto di un integrale
[math]|\int_a^b f(x) dx| \le \int_a^b |f(x)| dx[/math]
Per ulteriori approfondimenti sul valore assoluto vedi anche qua
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Se
[math]f: [a,b]\in \mathbb{R}[/math]
è continua e
[math]F[/math]
è una primitiva di
[math]f[/math]
sull'intervallo
[math][a,b][/math]
allora
[math]\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)[/math]
.
Metodi elementari per il calcolo di primitive
Integrazione per scomposizione[math]\int (k_1 f(x) + k_2 g(x)) dx = k_1 \int f(x) dx + k_2 \int g(x) dx[/math]
,
[math]k_1, k_2 \in \mathbb{R}[/math]
Integrali indefiniti immediati
[math]\int (f(x))^{\alpha} f'(x) dx = \frac{(f(x))^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} + c[/math]
[math]\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln(|f(x)|) + c[/math]
[math]\int f'(x) \sin(f(x)) dx = - \cos(f(x)) + c[/math]
[math]\int f'(x) \cos(f(x)) dx = \sin(f(x)) + c[/math]
[math]\int \frac{f'(x)}{\cos^2(f(x))} = \tan(f(x)) + c[/math]
[math]\int \frac{f'(x)}{\sin^2(f(x))} dx = - \cot(f(x)) + c[/math]
[math]\int f'(x) e^{f(x)} dx = e^{f(x)} + c[/math]
[math]\int f'(x) a^{f(x)} dx = a^{f(x)} \log_a(e) + c[/math]
[math]\int \frac{f'(x)}{\sqrt{1 - (f(x))^2}} dx = \arcsin(f(x)) + c[/math]
[math]\int \frac{f'(x)}{1 + (f(x))^2} dx = \arctan(f(x)) + c[/math]
Integrazione per sostituzione
Posso
[math]x = g(t)[/math]
(con
[math]g[/math]
funzione invertibile e derivabile con continuità su un opportuno intervallo
[math][\alpha, \eta][/math]
), si ha che:
[math]\int f(x) dx = \int f(g(t)) g'(t) dt[/math]
Nel caso di integrali definiti si ha infatti
[math]\int_a^b f(x) dx = \int_{\alpha}^{\eta} f(g(t)) g'(t) dt[/math]
dove
[math]a = g(\alpha)[/math]
e
[math]b = g(\eta)[/math]
.
Integrazione per parti
[math]\int f'(x) \cdot g(x) dx = f(x) \cdot g(x) - \int f(x) \cdot g'(x) dx[/math]
Tavola di primitive di funzioni elementari
[math]\int k dx = k x + c[/math]
,
[math]\forall k \in \mathbb{R}[/math]
[math]\int x^{\alpha} dx = \frac{x^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} + c[/math]
[math]\int \frac{1}{x} dx = \ln(|x|) + c[/math]
[math]\int e^x dx = e^x + c[/math]
[math]\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln(a)} + c[/math]
[math]\int \ln(x) dx = x \ln(x) - x + c[/math]
[math]\int \log_b(x) dx = x \log_b(x) - x \log_b(e) + c[/math]
[math]\int \sin(x) dx = - \cos(x) + c[/math]
[math]\int \cos(x) dx = \sin(x) + c[/math]
[math]\int \tan(x) dx = - \ln(|\cos(x)|) + c[/math]
[math]\int \cot(x) dx = \ln(|\sin(x)|) + c[/math]
[math]\int \sec(x) dx = \ln(|\sec(x) + \tan(x)|) + c = \int \frac{1}{\cos(x)} dx = \ln(|\frac{1}{\cos(x)} + \tan(x)|) + c[/math]
[math]\int cosec(x) dx = \ln(|cosec(x) - cotg(x)|) + c = \int \frac{1}{\sin(x)} dx = \ln(|\frac{1}{\sin(x)} - cotg(x)|) + c[/math]
[math]\int \arcsin(x) dx = x \cdot \arcsin(x) + \sqrt{1 - x^2} + c[/math]
[math]\int arctg(x) dx = x\cdot arctg(x) - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + c[/math]
[math]\int \sin^2(x) dx = \frac{1}{2} (x - \sin(x) \cos(x)) + c[/math]
[math]\int \cos^2(x) dx = \frac{1}{2} (x + \sin(x) \cos(x)) + c[/math]
[math]\int \sec^2(x) dx = \tan(x) + c[/math]
[math]\int cosec^2(x) dx = - cotg(x) + c[/math]
[math]\int \sinh(x) dx = \cosh(x) + c[/math]
[math]\int \cosh(x) dx = \sinh(x) + c[/math]
[math]\int tanh(x) dx = \ln(\cosh(x)) + c[/math]
[math]\int \coth(x) dx = \ln(|\sinh(x)|) + c[/math]
[math]\int sech(x) dx = setttgh(\sinh(x)) + c[/math]
[math]\int cosech(x) dx = \ln(|\tanh(\frac{x}{2})|) + c[/math]
[math]\int settsinh(x) dx = x \cdot settsinh(x) - \sqrt{x^2 + 1} + c[/math]
[math]\int settcosh(x) dx = x \cdot settcosh(x) - \sqrt{x^2 - 1} + c[/math]
[math]\int setttgh(x) dx = x \cdot setttgh(x) + \frac{\ln(1 - x^2)}{2} + c[/math]
[math]\int \frac{1}{1 + x^2} dx = arctg(x) + c[/math]
[math]\int \frac{1}{a^2 + x^2} dx = \frac{1}{a} arctg(\frac{x}{a}) + c[/math]
[math]\int \frac{1}{a^2 - x^2} dx = \frac{1}{2a} \ln(|\frac{x+a}{x-a}|) + c[/math]
[math]\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx = arcsin(x) + c[/math]
[math]\int \frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}} dx = arccos(x) + c[/math]
[math]\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = arcsin(\frac{x}{a}) + c[/math]
[math]\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} dx = settsinh(x) + c[/math]
[math]\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} dx = settcosh(x) + c[/math]
[math]\int \sqrt{x^2 \pm a^2} dx = \frac{x}{2} \sqrt{x^2 \pm a^2} \pm \frac{a^2}{2} \ln(|x + \sqrt{x^2 \pm a^2}|) + c[/math]
[math]\int \frac{1}{\sqrt{x^2 \pm a^2}} dx = \ln(|x + \sqrt{x^2 \pm a^2}|) + c[/math]
[math]\int \sqrt{a^2 - x^2} dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} arcsin(\frac{x}{a}) + c[/math]
[math]\int \sin(ax) \sin(bx) dx = \frac{\sin((a-b)x)}{2(a-b)} - \frac{\sin((a+b)x)}{2(a+b)} + c[/math]
, se
[math] a^2
e b^2[/math]
[math]\int \cos(ax) \cos(bx) dx = \frac{\sin((a-b)x)}{2 (a-b)} + \frac{\sin((a+b)x)}{2(a+b)} + c[/math]
, se
[math]a^2
e b^2[/math]
[math]\int \sin(ax) \cos(bx) dx = -\frac{\cos((a-b)x)}{2(a-b)} - \frac{\cos((a+b)x)}{2(a+b)} + c[/math]
, se
[math]a^2
e b^2[/math]
[math]\int \sin^n(x) dx = -\frac{1}{n} \sin^{n-1}(x) \cos(x) + \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2}(x) dx[/math]
, se
[math]n \ge 2[/math]
[math]\int \cos^n(x) dx = \frac{1}{n} \cos^{n-1}(x) \sin(x) + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2}(x) dx[/math]
, se
[math]n \ge 2[/math]
[math]\int \tan^n(x) dx = \frac{1}{n-1} \tan^{n-1}(x) - \int \tan^{n-2}(x) dx[/math]
, se
[math]n \ge 2[/math]
[math]\int cotg^n(x) dx = - \frac{1}{n-1} cotg^{n-1}(x) - \int cotg^{n-2}(x) dx[/math]
, se
[math]n \ge 2[/math]
[math]\int \frac{1}{\cos^n(x)} dx = \frac{1}{n-1} \frac{1}{\cos^{n-2}(x)} \tan(x) + \frac{n-2}{n-1} \int \frac{1}{\cos^{n-2}(x)} dx[/math]
, se
[math]n \ge 2[/math]
[math]\int \frac{1}{\sin^n(x)} dx = - \frac{1}{n-1} \frac{1}{\sin^{n-2}(x)} cotg(x) + \frac{n-2}{n-1} \int \frac{1}{\sin^{n-2}(x)} dx[/math]
, se
[math]n \ge 2[/math]
[math]\int \sin^n(x) \cos^m(x) dx = - \frac{\sin^{n+1}(z) \cos^{m+1}(x)}{n + m} + \frac{n-1}{n+m} \int \sin^{n-2}(x) \cos^m(x) dx[/math]
, se
[math]n \ge -m[/math]
[math]\int \sin^n(x) \cos^m(x) dx = \frac{\sin^{n+1}(x) \cos^{m-1}(x)}{n+m} + \frac{m-1}{n+m} \int \sin^n(x) \cos^{m-2}(x) dx[/math]
, se
[math]n \ge -m[/math]
[math]\int x^n \sin(x) dx = - x^n \cos(x) + n \int x^{n-1} \cos(x) dx[/math]
Per ulteriori approfondimenti sulle funzioni iperboliche vedi anche qua
Integrali impropri
Funzioni non limitate
Se
[math]f:[a, b) \rightarrow \mathbb{R}[/math]
è continua e
[math]\lim_{x \rightarrow b^-} f(x) = +\infty[/math]
(
[math]-\infty[/math]
), allora
[math]\int_a^b f(x) dx = \lim_{t \rightarrow 0^+} \int_{a}^{b + t} f(x) dx[/math]
Criteri di integrabilità all'infinito
Siano
[math]f, g: [a, b) \rightarrow \mathbb{R}[/math]
due funzioni continue tali che
[math]\lim_{x \rightarrow b^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow b^-} g(x) = +\infty[/math]
.
Valgono i seguenti criteri per stabilire la convergenza dell'integrale su
[math][a,b)[/math]
:
Criterio del confronto:
se
[math]0 \le f(x) \le g(x)[/math]
per ogni
[math]x \in [a,b)[/math]
, allora
[math]\int_a^b g(x) dx > +\infty \implies \int_a^b f(x) dx > +\infty[/math]
[math]\int_a^b f(x) dx = +\infty \implies \int_a^b g(x) dx = +\infty[/math]
Criterio del confronto asintotico:
se
[math]f, g > 0[/math]
in
[math][a,b)[/math]
e
[math]\lim_{x \rightarrow b^-} \frac{f(x)}{g(x)} = k \in \mathbb{R} \setminus {0}[/math]
allora
[math]\int_a^b f(x) dx > +\infty \iff \int_a^b g(x) dx > +\infty[/math]
[math]\int_a^b f(x) dx = +\infty \iff \int_a^b g(x) dx = +\infty[/math]
Esempio di integrale improprio (all'infinito)
[math]\int_a^b \frac{1}{(x - a)^{\alpha}} \quad {(diverge, \quad se \alpha \ge 1),(converge, \quad se \alpha > 1):}[/math]
[math]\int_a^b \frac{1}{(b - x)^{\alpha}} \quad {(diverge, \quad se \alpha \ge 1),(converge, \quad se \alpha > 1):}[/math]
Integrabilità su intervalli illimitati
Nel caso di intervalli illimitati si pone
[math]\int_a^{+\infty} f(x) dx = \lim_{t \rightarrow +\infty} \int_a^t f(x) dx[/math]
.
Siano
[math]f,g: [a, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}[/math]
due funzioni continue, per studiare convergenza dell'integrale esteso a tutto il loro dominio si possono sfruttare i seguenti criteri.
Condizione necessaria:
se
[math]lim_{x \rightarrow +\infty} f(x)[/math]
esiste, allora
[math]\int_a^{+\infty} f(x) dx[/math]
può convergere solo se
[math]\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = 0[/math]
.
Criterio del confronto:
se
[math]0 \le f(x) \le g(x)[/math]
per ogni
[math]x \in [a, +\infty)[/math]
, allora
[math]\int_{a}^{+\infty} g(x) dx > +\infty \implies \int_a^{+\infty} f(x) dx > +\infty[/math]
[math]\int_a^{+\infty} f(x) dx = +\infty \implies \int_a^{+\infty} g(x) dx = +\infty[/math]
Criterio del confronto asintotico:
se
[math]f,g > 0[/math]
e
[math]\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = k \in \mathbb{R} \setminus {0}[/math]
, allora
[math]\int_a^{+\infty} f(x) dx > +\infty \iff \int_a^{+\infty} g(x) dx > +\infty[/math]
[math]\int_a^{+\infty} f(x) dx = +\infty \iff \int_a^{+\infty} g(x) dx = +\infty[/math]
Criterio dell'assoluta convergenza:
se
[math]\int_a^{+\infty} |f(x)| dx > +\infty[/math]
allora
[math]\int_a^{+\infty} f(x) dx > +\infty[/math]
Esempio di integrale improprio all'infinito
Se
[math]a > b[/math]
, allora
[math]\int_a^{+\infty} \frac{1}{(x - b)^{\alpha}} \quad {(diverge, \quad se \alpha \le 1),(converge, \quad se \alpha > 1):}[/math]
Integrali notevoli
[math]\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}[/math]
(integrale di Gauss)
[math]\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{x^2}{2}} dx = \sqrt{2 \pi}[/math]
(integrale di Eulero)
[math]\int_0^{+\infty} \frac{x}{e^x - 1} dx = \frac{\pi^2}{6}[/math]
[math]\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin(x)}{x} dx = \pi[/math]
[math]\int_{-\infty}^{+\infty} (\frac{\sin(x)}{x})^3 dx = \frac{3}{4} \pi[/math]
[math]\int_{-\infty}^{+\infty} \cos(x^2) dx = \int_{-\infty}^{+\infty} \sin(x^2) dx = \sqrt{\frac{\pi}{2}}[/math]
(integrale di Fresnel)
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