Luca Lussardi Appunti di Analisi I
Integrali impropri
Il concetto di integrale può essere esteso in modo opportuno a funzioni che non sono definite e limitate su un intervallo chiuso e limitato di ℝ attraverso un calcolo di un limite: tale è la definizione di integrale improprio o generalizzato.
Integrali impropri su semirette
→
Sia f : [a, +∞) → ℝ una funzione integrabile secondo Riemann su ogni intervallo della forma [a, c] con c > a; allora è ben definito
∫ac f (x) dx
per ogni c > a. L’integrale improprio di f su [a, +∞) è definito come
∫a+∞ f (x) dx = limc→+∞ ∫ac f (x) dx.
Si osservi che il limite nella formula precedente esiste sempre grazie alla monotonia della funzione integrale; si dice che f è integrabile in senso improprio su [a, +∞) se tale limite è finito. In tal caso talvolta si dice anche che l’integrale improprio
∫a+∞ f (x) dx
converge. Nel caso in cui il limite dato fosse +∞ o −∞ l’integrale improprio viene anche detto positivamente o negativamente divergente rispettivamente.
Sia f : [0, +∞) data da f (x) = e−x. Allora si ha
Esempio: ∫0+∞ f (x) dx = limc→+∞ ∫0c e−x dx = limc→+∞ (1 − e−c) = 1
per cui l’integrale improprio di e−x su [0, +∞) converge.
Integrali impropri su intervalli aperti
→
Sia f : [a, b) una funzione integrabile secondo Riemann su ogni intervallo della forma [a, c] con a < c < b; allora è ben definito
∫ac f (x) dx
per ogni a < c < b. L’integrale improprio di f su [a, b) è definito come
∫ab f (x) dx = limc→b ∫ac f (x) dx.
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