La regola di Ruffini e il teorema del resto: spiegazione con esempio

In quest'appunto di matematica troverai tutte le informazioni necessarie per comprendere la regola di Ruffini ed effettuare correttamente le divisioni tra polinomi. Durante la spiegazione delle regole principali è presentato un esempio commentato di risoluzione.

I polinomi: proprietà e scomposizione

Scomporre un polinomio è importante in matematica, in quanto permette di riscrivere una somma algebrica di monomi come un prodotto tra polinomi di grado inferiore, migliorandone la leggibilità.

La regola di Ruffini è una strategia utilizzata per la scomposizione di polinomi quando approcci più semplici - come ad esempio l'applicazione di prodotti notevoli - non possono essere utilizzati.

Prima di passare alla presentazione del teorema, è opportuno fare una breve ricapitolazione sui polinomi, sulle loro caratteristiche e sulle strategie più semplici utilizzate per la loro scomposizione.
Si definisce polinomio una somma algebrica tra monomi non simili, cioè aventi parte letterale differente. Il monomio dal grado maggiore definisce il grado del polinomio. Ciò significa che, se il polinomio è:

, in questo caso il grado del polinomio è 4, ossia quello del primo monomio (che presenta il grado maggiore rispetto agli altri).

Un polinomio può essere sempre scomposto in polinomi di grado inferiore qualora non sia irriducibile. Per scomporre un polinomio esistono diverse tecniche, ossia:

• il raccoglimento a fattor comune, che consiste nel riscrivere il polinomio come il prodotto tra il massimo comune divisore dei monomi che lo compongono e il polinomio diviso per il massimo comune divisore. Ad essere sfruttata è la proprietà distributiva che lega moltiplicazione e addizione. Ecco un esempio:
  [math]XY+YZ=Y(X+Z)[/math]
• i prodotti notevoli, i quali consentono di riconoscere e di riscrivere prodotti di polinomi o potenze specifici. Esempi di prodotti notevoli sono il quadrato di binomio, il cubo di binomio, la differenza di quadrati etc.
• il teorema di Ruffini, solitamente applicato quando le prime due strategie falliscono

Come si applica la regola di Ruffini

Come abbiamo già anticipato, l'obiettivo principale della scomposizione dei polinomi è riscrivere il polinomio come il prodotto tra polinomi di grado inferiore. La regola di Ruffini - nonostante sia generalmente considerata piuttosto macchinosa - è un metodo di scomposizione che può essere quasi sempre applicato a differenza degli altri. Non è da preferire, tuttavia, se vi sono alternative più immediate, in quanto queste ultime permettono di effettuare la stessa operazione in modo più veloce.
L'applicazione della regola di Ruffini si divide in due passi:

• la ricerca della radice, che consiste nel trovare un numero che, "sostituito" alla variabile presente ed effettuate le moltiplicazioni, restituisca un valore nullo. Se ad esempio consideriamo il polinomio
  [math]2x^2+4x-16[/math]
  la radice desiderata è 2, poiché:
  [math]2(2^2)+4(2)-16=0 [/math]
  . Questa non è altro che un'applicazione del teorema del resto, il quale permette di conoscere in anticipo il resto della divisione tra un polinomio e un divisore del tipo
  [math]x-c[/math]
  . Per fare questo basta sostituire alla variabile il valore di c e svolgere le moltiplicazioni: il risultato della somma algebrica sarà il resto della divisione. Nel caso precedente il resto è 0.
• la realizzazione della tabella di Ruffini. Costruiamo una tabella riportando in basso a sinistra la radice del polinomio (nel caso precedente 2), in alto al centro i coefficienti del polinomio partendo da sinistra con il coefficiente di grado massimo (considerando il polinomio precedente 2 e 4). Infine, in alto a destra, riportiamo il coefficiente del termine noto (grado nullo)

Dopo aver preparato la tabella, bisogna trovare il polinomio di Ruffini, che sarà un polinomio di un grado inferiore rispetto a quello di partenza. Si comincia "abbassando" il coefficiente di grado massimo e riscrivendolo in basso. Questo è il primo coefficiente del polinomio di Ruffini.

Dopodiché esso va moltiplicato con la radice trovata e tale numero va inserito sotto al secondo coefficiente. Successivamente, è necessario sommare il risultato della somma tra quest'ultimo numero e il secondo coefficiente e scrivere il risultato nella posizione corrispondente in basso. Ripetere lo stesso procedimento moltiplicando, stavolta, il risultato in basso con la radice.
Il risultato della somma che coinvolge il termine notorestituisce come risultato il resto. Affinché Ruffini possa essere applicato, il resto dev'essere 0.

A questo punto, bisogna riscrivere il polinomio scomposto. Chiamata f la radice trovata (nel caso precedente 2) e a e b i coefficienti ricavati dalla regola di Ruffini, possiamo riscrivere il polinomio iniziale come il prodotto dei polinomi

e

. Nel nostro caso, il risultato sarà

Per ulteriori approfondimenti sulla regola di Ruffini vedi anche qua