La funzione si presenta come il prodotto tra due funzioni, di cui una lineare e l'altra esponenziale; in questo caso, quindi, il dominio della funzione è l'insieme dei numeri reali:
.
Determiniamo ora i punti di intersezione con gli assi:
Il punto individuato è
.
In questo caso abbiamo due punti, di cui uno già individuato in precedenza (
), e l'altro
.
Verifichiamo se la funzione è pari o dispari:
La funzione quindi non è ne pari ne dispari.
Cerchiamo gli intervalli in cui la funzione è positiva:
Poiché l'esponenziale è sempre positivo, la funzione è positiva negli intervalli:
.
Passiamo ora alla ricerca degli asintoti; dobbiamo determinare i limiti della funzione, cominciamo in questo caso dal limite a
:
Non vi sono in questo limite forme di indecisione, e il valore può essere calcolato facilmente:
Calcoliamo ora il limite a
:
In questo caso abbiamo una forma di indecisione del tipo
; per risolverla, possiamo portare l'esponenziale al denominatore:
Ora sia numeratore che denominatore tendono a
, ma il denominatore è un infinito di ordine maggiore del numeratore, quindi tenderà ad infinito più velocemente; il valore del limite è quindi:
La retta
è quindi un asintoto orizzontale sinistro per la funzione.
Poiché non ci sono asintoti orizzontali per
, occorre verificare se la funzione presenta asintoti obliqui per
:
Abbiamo trovato un valore infinito del limite, di conseguenza non sono presenti asintoti obliqui.
Cerchiamo ora eventuali punti di massimo o minimo; calcoliamo la derivata prima della funzione:
Troviamo i punti in cui la deriva prima si annulla:
Studiamo il segno della derivata prima:
Dallo studio del segno si ottengono i seguenti intervallo:
;
la funzione, quindi, è crescente in tali intervalli.
Notiamo, quindi, che il punto individuato da
è un punto di minimo relativo per la funzione, mentre il punto individuato da
è un punto di massimo relativo per la funzione.
Calcoliamo ora la derivata seconda della funzione:
Troviamo i valori di x che annullano la derivata seconda:
Studiamo il segno della derivata seconda:
Dallo studio del segno si trova che
; di conseguenza, la funzione sarà concava verso l'alto per x in tale intervallo, e sarà rivolta verso il basso per
. I punti individuati da
e
sono quindi punti di flesso.
Possiamo tracciare il grafico della funzione:
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