Studio di funzione: Studiare la seguente funzione, determinandone il dominio, i punti di intersezione con gli assi, eventuali punti di massimo e minimo, e punti di flesso; verificare la presenza di asintoti, e tracciare il grafico approssimativo. f(x) =

Cominciamo lo studio di funzione determinando il dominio della funzione; poiché è presente una funzione logaritmica, dobbiamo imporre che il suo argomento sia maggiore di zero: frac(2x+1)(x-1) >...

_stan
di _stan
Ominide
6 min. di lettura
Vota

Cominciamo lo studio di funzione determinando il dominio della funzione; poiché è presente una funzione logaritmica, dobbiamo imporre che il suo argomento sia maggiore di zero:

[math]frac(2x+1)(x-1) > 0[/math]

[math]2x +1 > 0[/math]

[math]x-1 > 0[/math]

Dallo studio del segno si ottengono i seguenti intervalli:

[math] x>-1/2 vee x > 1 [/math]

Quindi abbiamo:

[math] D = (-oo ; -1/2) uu (1 ; +oo) [/math]

.

In questo caso, quindi, la funzione non presenta nessuna intersezione con gli assi, in quanto tutti i punti possibili sono comunque esclusi dal dominio.

Verifichiamo se la funzione è pari o dispari:

[math] f(-x) = |-x+1| - x + \\log(frac(-2x+1)(-x-1)) [/math]

La funzione quindi non è ne pari ne dispari.

Passiamo alla ricerca degli asintoti; dobbiamo determinare i limiti della funzione, cominciamo dal limite a

[math]+oo[/math]

:

[math] lim_(x \to +oo) |x+1| + x + \\log(frac(2x+1)(x-1)) [/math]

In questo intorno, possiamo assumere che

[math] |x+1| = x + 1[/math]

, quindi:

[math] lim_(x \to +oo) |x+1| + x + \\log(frac(2x+1)(x-1)) = [/math]

[math]lim_(x \to +oo) x+1 + x + \\log(frac(2x+1)(x-1)) =[/math]

[math]lim_(x \to +oo) 2x + 1 + \\log(frac(2x+1)(x-1)) = +oo [/math]

La funzione, quindi, non presenta asintoti orizzontali destri.

Studiamo il comportamento a

[math]- oo[/math]

; in questo caso si avrà

[math] |x+1| = - x - 1[/math]

:

[math] lim_(x \to -oo) |x+1| + x + \\log(frac(2x+1)(x-1)) = [/math]

[math]lim_(x \to -oo) -x-1 + x + \\log(frac(2x+1)(x-1)) =[/math]

[math] lim_(x \to -oo) - 1 + \\log(frac(2x+1)(x-1)) = \\log(2) - 1 [/math]

Di conseguenza, la retta di equazione

[math]y = \\log(2) - 1[/math]

è un asintoto orizzontale sinistro per la funzione.

Poiché la funzione presenta solo un asintoto orizzontale sinistro, "a destra" potrebbe essere presente un asintoto obliquo; in tal caso, il coefficiente angolare di tale asintoto è dato da un valore finito di tale limite:

[math] m = lim_(x \to +oo) frac(f(x))(x) = lim_(x \to +oo) 2 + 1/x + frac(\\log(frac(2x+1)(x-1)))(x) = 2[/math]

Avendo ottenuto un valore finito per

[math]m[/math]

, cerchiamo un eventuale

[math]q[/math]

:

[math] q = lim_(x \to +oo) [f(x) - mx] = [/math]

[math]lim_(x \to +oo) 2x + 1 + \\log(frac(2x+1)(x-1)) - 2x = 1 + \\log(2) [/math]

Possiamo concludere, quindi, che la retta

[math] y = 2x + 1 + \\log(2)[/math]

è un asintoto obliquo destro per la funzione.

Vediamo ora cosa accade quando la funzione si avvicina ai punti che sono esclusi dal dominio; in particolare, risolviamo i seguenti limiti:

[math] lim_(x \to -1/2 ^-) |x+1| + x + \\log(frac(2x+1)(x-1)) = [/math]

[math]lim_(x \to -1/2 ^-) x+1 + x + \\log(frac(2x+1)(x-1)) =[/math]

[math] lim_(x \to -1/2 ^-) 2x + 1 + \\log(frac(2x+1)(x-1)) = -oo [/math]

La retta

[math] x = -1/2[/math]

è quindi asintoto verticale per la funzione.

[math] lim_(x \to 1^+) |x+1| + x + \\log(frac(2x+1)(x-1)) = [/math]

[math]lim_(x \to 1^+) x+1 + x + \\log(frac(2x+1)(x-1)) =[/math]

[math]lim_(x \to 1^+) 2x + 1 + \\log(frac(2x+1)(x-1)) = +oo [/math]

Anche la retta

[math] x = 1[/math]

è asintoto verticale per la funzione.

Cerchiamo eventuali punti di massimo o minimo studiando la derivata prima; distendiamo i casi

[math]x > -1[/math]

e

[math]x > - 1[/math]

; nel primo caso si ha:

[math] f'(x) = 2 + frac(x-1)(2x+1) \cdot frac(2(x-1) - 2x - 1)((x-1)^2) = [/math]

[math]2 - frac(3)((2x+1)(x-1)) = [/math]
[math] frac(4x^2 - 2x - 5)( (2x+1)(x-1) ) [/math]

Troviamo i punti in cui la deriva prima si annulla:

[math] f'(x) = 0 \to frac(4x^2 - 2x - 5)( (2x+1)(x-1) ) = 0 [/math]

[math] 4x^2 - 2x - 5 = 0 \to x = frac(1+\sqrt{21})(4) vee x = frac(1-\sqrt{21})(4) [/math]

Studiamo il segno della derivata prima:

[math] f'(x) > 0 \to frac(4x^2 - 2x - 5)( (2x+1)(x-1) ) > 0 [/math]

[math] 4x^2 - 2x - 5 > 0 [/math]

[math] (2x+1)(x-1) > 0 [/math]

Dallo studio del segno e tenendo conto che siamo nel caso in cui

[math]x > -1 [/math]

otteniamo i seguenti intervalli:

[math] ( - 1 , frac(1-\sqrt{21})(4) ) uu ( frac(1+\sqrt{21})(4) ; +oo ) [/math]

; la funzione, quindi, è crescente in tali intervalli.

Notiamo, quindi, che il punto individuato da

[math] x = frac(1+\sqrt{21})(4) [/math]

è un punto di minimo relativo per la funzione, mentre il punto individuato da

[math] x = frac(1-\sqrt{21})(4) [/math]

è un punto di massimo relativo per la funzione.

Passiamo ora al caso

[math] x > - 1[/math]

:

[math] f'(x) = frac(x-1)(2x+1) \cdot frac(2(x-1) - 2x - 1)((x-1)^2) = frac(3)((2x+1)(x-1)) [/math]

Troviamo i punti in cui la deriva prima si annulla:

[math] f'(x) = 0 \to frac(3)((2x+1)(x-1)) = 0 [/math]

In questo caso la derivata prima non si annulla in nessun punto; dallo studio del segno si trova il seguente intervallo:

[math] (-1/2 , 1) [/math]

Quindi, nell'intervallo che stiamo considerando, la derivata sarà sempre negativa, di conseguenza la funzione sarà decrescente nell'intervallo

[math] x > - 1[/math]

.

In questo caso, il calcolo della derivata seconda si rivela troppo complesso; possiamo comunque tracciare il grafico approssimativo della funzione:

Nell'intervallo

[math] (-oo ; 0) [/math]

si avrà un grafico di questo tipo:

Mentre nell'intervallo

[math] ( 0 ; +oo ) [/math]

si avrà un grafico di questo tipo:

Potrebbe interessarti anche

Appunti correlati

Domande e risposte

Hai bisogno di aiuto?
Chiedi alla community
Fai una domanda

Help (321322)
filo.22 di filo.22

Aiuto urgente per compiti
anitaminardi1987 di anitaminardi1987

Problema con potenze
gagix12 di gagix12

I migliori insegnanti di Matematica

Giovanni

Giovanni C.

Supertutor
Percorsi
Verificato

Insegnante di Aiuto tesi, Contabilità e bilancio, Controllo di gestione, Diritto

a partire da 20 €/ora
most booked
Salvatore

Salvatore F.

Supertutor
Percorsi
Verificato
DSA

Insegnante di Aiuto compiti, Aiuto tesi, Algebra, Analisi 1

a partire da 20 €/ora
most booked
Mostra altri Tutor