Come risolvere un sistema di equazioni con il metodo del confronto

In quest'appunto verrà presentato un sommario sulle strategie di risoluzione dei sistemi di equazioni, con un approfondimento sul metodo del confronto.

Cos'è un sistema di equazioni e come si definisce il grado di un sistema

Un sistema di due o più equazioni nelle stesse incognite che si vuole siano soddisfatte contemporaneamente si chiama sistema di equazioni.
Per indicare un sistema di equazioni si usa scrivere le equazioni su righe diverse, racchiudendole con una parentesi graffa posta alla loro sinistra.

Un sistema è caratterizzato da un numero chiamato grado.

Il grado di un sistema è pari al prodotto dei gradi delle equazioni presenti al suo interno.
Ad esempio il grado del sistema

è

, poiché l'equazione

ha grado

e

ha grado

. I sistemi composti esclusivamente da equazione di primo grado - e quindi sistemi di primo grado - prendono il nome di sistemi lineari.

Quali sono le principali strategie di risoluzione dei sistemi lineari di equazioni

: i sistemi che non ammettono soluzione si definiscono impossibili. Sono impossibili i sistemi in cui il numero di equazioni all'interno del sistema è inferiore al numero delle incognite in gioco. Altri sistemi, invece, si definiscono indeterminati: in questo caso esistono infinite soluzioni. Un sistema indeterminato può essere riconosciuto dalla presenza di un'identità - ossia di un'equazione avente primo e secondo membro uguali - tra le equazioni che lo compongono.

I sistemi che ammettono un'unica soluzione prendono il nome di determinati. Tale soluzione, nel caso dei sistemi lineari, può essere individuata principalmente attraverso due metodi:

• il metodo della sostituzione. Esso si effettua esplicitando un'incognita in un'equazione per poi sostituirla in un'altra equazione. Questo metodo può essere utilizzato con successo in tutti i sistemi lineari, anche se risulta essere particolarmente vantaggioso solo in presenza di sistemi con un numero di equazioni limitato
• il metodo del confronto, che approfondiremo nel prossimo paragrafo

Esempio commentato: il metodo del confronto per la risoluzione dei sistemi di equazioni

Una variante del metodo di sostituzione è il metodo del confronto. Esso consiste nel ricavare l'equazione risolvente risolvendo entrambe le equazioni del sistema rispetto alla stessa incognita e uguagliando le espressioni ottenute. Si conclude poi la risoluzione del sistema come nel metodo di sostituzione.

Scegliamo di risolvere entrambe le equazioni del sistema rispetto a

(o a

, a seconda delle equazioni che ci troviamo davanti).

Uguagliamo le due espressioni sottolineate, che esprimono

in funzione di

, otteniamo l'equazione risolvente.

Risolviamo l'equazione risolvente.

Ora ricaviamo il valore di

, sostituendo il valore di

trovato, per esempio, nella prima delle equazioni (ricavate al primo passo) che esprimono

.

Esercizio commentato: il metodo della sostituzione per la risoluzione dei sistemi lineari

Risolviamo il sistema precedentemente introdotto per la spiegazione del metodo del confronto utilizzando il metodo della sostituzione, così da dimostrare che le due procedure sono equivalenti.

Esplicitiamo l'incognita

dalla prima equazione e sostituiamola nella seconda. Dalla prima equazione si avrà che

. Dopo la sostituzione avrò che

. Il sistema è quindi diventato:

Svolgendo i calcoli nella seconda equazione si avrà che

.
Il sistema diverrà quindi:

Sostituiamo il valore

nella prima equazione, così da ottenere

. La soluzione generale del sistema lineare sarà quindi

proprio come ricavato precedentemente utilizzando il metodo del confronto.

Per ulteriori approfondimenti sul sistema di equazioni vedi anche qui