Risoluzione di un sistema a 3 incognite con il metodo Cramer
Ecco la regola generale:
[math]\begin{cases}a_1+b_1+c_1=n_1\\a_2+b_2+c_2=n_2\\a_3+b_3+c_3=n_3\end{cases} [/math]
1.Scrivere prima e seconda colonna a destra della terza:
[math]\Delta=\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2\\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}\begin{matrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3 \end{matrix}[/math]
[math]\Delta x=\begin{vmatrix} n_1 & b_1 & c_1 \\ n_2 & b_2 & c_2\\ n_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}\begin{matrix} n_1 & b_1 \\ n_2 & b_2 \\ n_3 & b_3 \end{matrix}[/math]
[math]\Delta y=\begin{vmatrix} a_1 & n_1 & c_1 \\ a_2 & n_2 & c_2\\ a_3 & n_3 & c_3 \end{vmatrix}\begin{matrix} a_1 & n_1 \\ a_2 & n_2 \\ a_3 & n_3 \end{matrix}[/math]
[math]\Delta z=\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & n_1 \\ a_2 & b_2 & n_2\\ a_3 & b_3 & n_3 \end{vmatrix}\begin{matrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3 \end{matrix}[/math]
Si moltiplicano i tre termini che stanno su ciascuna delle tre diagonali principali (diagonali rosse) da cui si sottraggono i prodotti ottenuti dalle diagonali secondarie (diagonali verdi).
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Ecco un esempio:
[math]\begin{cases} x-y+z=0 \\ 4x-5y+2z=-2\\2x+3y-2z=3\end{cases} [/math]
[math]\Delta=\begin{vmatrix}1 & -1 & 1 \\ 4 & -5 & 2\\ 2 & 3 & -2 \end{vmatrix}\begin{matrix} 1 & -1 \\ 4 & -5 \\ 2 & 3 \end{matrix}[/math]
[math]=(10-4+12)-(-10+6+8)=18-4=14[/math]
[math]\Delta x=\begin{vmatrix}0 & -1 & 1 \\ -2 & -5 & 2\\ 3 & 3 & -2 \end{vmatrix}\begin{matrix} 0 & -1 \\ -2 & -5 \\ 3 & 3 \end{matrix}[/math]
[math]=(0-6-6)-(-15+0-4)=-12+19=7[/math]
[math]\Delta y=\begin{vmatrix}1 & 0 & 1 \\ 4 & -2 & 2\\ 2 & 3 & -2 \end{vmatrix}\begin{matrix} 1 & 0 \\ 4 & -2 \\ 2 & 3 \end{matrix}[/math]
[math]=(4+0+12)-(-4+6+0)=16-2=14[/math]
[math]\Delta z=\begin{vmatrix}1 & -1 & 0 \\ 4 & -5 & -2\\ 2 & 3 & 3 \end{vmatrix}\begin{matrix} 1 & -1 \\ 4 & -5 \\ 2 & 3 \end{matrix}[/math]
[math]=(-15+4+0)-(0-6-12)=-11+18=7[/math]
[math]x=\frac{\Delta x}{\Delta}=\frac{7}{14}=\frac12[/math]
[math]y=\frac{\Delta y}{\Delta}=\frac{14}{14}=1[/math]
[math]z=\frac{\Delta z}{\Delta}=\frac{7}{14}=\frac12[/math]
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