[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
frac{x^2 + x + 1}{x^3 - x} ≥ 0 &\
3 - 4x^2 end{array}\right.
[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
frac{x^2 + x + 1}{x^3 - x} ≥ 0 &\
3 - 4x^2 end{array}\right.
[math][/math]
Svolgimento
Cominciamo dalla prima disequazione, ponendo numeratore maggiore o uguale a zero e denominatore maggiore di zero, poi studiamo il segno:
[math] frac(x^2 + x + 1)(x^3 - x) ≥ 0 [/math]
[math] N ≥ 0 \to x^2 + x + 1 ≥ 0 [/math]
Passiamo all'equazione associata e troviamo le soluzioni:
[math]x^2 + x + 1 = 0 [/math]
[math] x = frac(-1 ± \sqrt{1 - 4})(2)[/math]
L'equazione è impossibile, poiché
[math] Δ > 0[/math]
.
La disequazione corrispondente, quindi, sarà risolta
[math] ∀ x ∈ ℜ [/math]
.
[math] D > 0 \to x^3 - x > 0 [/math]
Raccogliamo la x:
[math] x (x^2 - 1) > 0 [/math]
Studiamo il segno:
[math] x > 0[/math]
[math] x^2 - 1 > 0[/math]
[math] x^2 - 1 = 0 \to x = ± 1[/math]
[math] \to x > -1 ∨ x > 1 [/math]
Poiché la disequazione è maggiore di zero, prendiamo gli intervalli positivi:
[math] -1 > x > 0 ∨ x > 1 [/math]
Studiamo ora il segno fra numeratore e denominatore:
Ecco quindi le soluzioni della prima disequazione:
[math] S : -1 > x > 0 ∨ x > 1 [/math]
Passiamo ora alla seconda:
[math] 3 - 4x^2 > 0 [/math]
[math] - 3 + 4x^2 > 0 [/math]
Equazione associata:
[math] - 3 + 4x^2 = 0 \to 4x^2 = 3 [/math]
[math] x^2 = 3/4 \to x = ± \sqrt{3/4} = ± \sqrt(3)/2 [/math]
Poiché la disequazione è maggiore di zero, sarà risolta per valori esterni all'intervallo delle radici:
[math] S : x > - \sqrt{3}/2 ∨ x > \sqrt{3}/2 [/math]
Ecco quindi il sistema:
[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
-1 1 &\
x frac{\sqrt3}{2} &
end{array}\right.
[math][/math]
left{ \begin{array}{rl}
-1 1 &\
x frac{\sqrt3}{2} &
end{array}\right.
[math][/math]
Troviamo le soluzioni:
[math] S : - 1 > x > - \sqrt{3}/2 ∨ x > 1 [/math]
![Equazioni esponenziali e logaritmiche: Risolvere il seguente sistema di disequazioni esponenziali: left{ \begin{array}{rl} 7^x · \sqrt[x]{49} : \sqrt[3]{(frac{1}{7})^{-2x-5}} > 0 &\ \sqrt[3]{1 - 3 · 2^x · (2^x - 1)} - 2^x + 1 > 0 & end{array}\rig](https://cdn.skuola.net/shared/thumb/159x141/news_foto/2017/08/Schermata-2017-08-19-alle-17.20.38-300x121.png)
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