Scomposizione in fattori primi con esempi pratici

In questo appunto di matematica per le scuole medie viene spiegata la scomposizione in fattori primi. All'interno del testo viene offerta una panoramica sia sul procedimento di scomposizione: quali sono i passaggi da seguire e come verificare che si sta procedendo nel modo giusto, sia sulle possibili applicazioni di questo procedimento in ambito matematico: ricerca dei divisori di un numero, calcolo del Massimo Comune Divisore e del minimo comune multiplo, ridurre una frazione ai minimi termini.

Cos'è la scomposizione in fattori primi

Con scomposizione in fattori primi indichiamo il procedimento che permette di scrivere un numero come il prodotto dei numeri primi che lo compongono.

La verifica che la scomposizione in fattori primi sia giusta può essere appunto verificata moltiplicando tra loro i numeri ottenuti da tale scomposizione, questo calcolo dovrà darci come risultato il numero di partenza.

Per ulteriori approfondimenti sulla scomposizione in fattori primi vedi anche qua

Metodo di scomposizione in fattori primi

Vediamo adesso il metodo pratico per ottenere la fattorizzazione di un numero qualsiasi, prendiamo come esempio il numero 252 e andiamo ad elencare la serie di passaggi che ci permette di arrivare al risultato finale:

• Scriviamo il numero e, alla sua destra, tracciamo una riga verticale;
• Tenendo presenti i criteri di divisibilità e la successione ordinata dei numeri primi (2,3,5,7,11,13,..), scriviamo alla destra di 252 il più piccolo numero primo per cui è divisibile, cioè 2; eseguiamo la divisione 252:2 e scriviamo il quoziente 126 sotto il 252;
• Scriviamo alla destra di 126 il più piccolo numero primo per cui è divisibile, che è ancora 2; eseguiamo la divisione 126:2, e scriviamo il quoziente 63 sotto al numero 126;
• Scriviamo alla destra di 63 il più piccolo numero primo per cui è divisibile, cioè 3; eseguiamo la divisione 63:3 e scriviamo il quoziente 21 sotto al numero 63;
• Scriviamo alla destra di 21 il più piccolo numero primo per cui è divisibile, in questo caso è ancora 3; eseguiamo l'operazione 21:3 e scriviamo il quoziente 7 sotto al numero 21;
• 7 è un numero primo. Esso è quindi divisibile solo per se stesso; scriviamo 7 alla sua destra e sotto il quoziente 1.
• Consideriamo tutti i numeri che abbimao scritto a destra della linea: due volte 2, due volte 3 e una volta 7. Risulta dunque che: 252 = 2 x 2 x 3 x 3 x 7 oppure, utilizzando le potenze:
  [math]252 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7[/math]

Applicazioni della scomposizione in fattori primi

Il metodo della scomposizione in fattori primi può essere applicato in diversi ambiti della matematica, in particolare il suo utilizzo è di grande aiuto in:

• Calcolo del Massimo Comune Divisore
• Calcolo del minimo comune multiplo
• Individuazione dei divisori di un numero
• Riduzione delle frazioni ai minimi termini

Andiamo ora a vedere nello specifico ognuno di questi casi in modo da poter comprendere appieno le diverse applicazioni della scomposizione in fattori primi.

Massimo Comune Divisore

Con "Massimo Comune Divisore" di numeri naturali andiamo a definire il più grande, tra tutti i divisori comuni, dei numeri presi in esame. In questo caso, i passaggi che ci danno modo di calcolare il Massimo Comune Divisore di due o più numeri naturali sono fondamentalmente due:

1. Scomposizione dei numeri in fattori primi
2. Moltiplicazione tra loro dei fattori comuni, presi una sola volta e con l'esponente minore

Con il termine "fattori comuni" andiamo a definire quei fattori primi che, durante la scomposizione, compaiono in tutti i numeri presi in esame e di cui vogliamo calcolare il massimo comune divisore.

Per ulteriori approfondimenti sul Massimo Comune Divisore vedi anche qua

Minimo comune multiplo

Il minimo comune multiplo è definito come il minore tra i multipli comuni a due o più numeri interi positivi.
Per calcolare il mcm sono necessari due passaggi:

1. Scomposizione dei numeri dati in fattori primi;
2. Moltiplicazione tra loro dei fattori primi comuni e non comuni, presi una sola volta e con l'esponente massimo.

Individuazione dei divisori di un numero

Nel caso avessimo necessita di individuare i numeri divisori di un numero dato, l'applicazione della scomposizione in fattori primi ci permette di effettuare questa operazione in breve tempo e con una grande precisione.

Riduzione ai minimi termini delle frazioni

Uno dei principali campi di adattamento della scomposizione in fattori primi è di sicuro la riduzione ai minimi termini delle frazioni. Ponendo il caso che dovessimo ridurre una frazione non ridotta ai minimi termini infatti, è possibile utilizzare la regola appena studiata, applicandola sia al numeratore che al denominatore, per arrivare al risultato che cerchiamo ed effettuare quindi una semplificazione della frazione di partenza.