Risolvere in campo complesso la seguente equazione
[math]z|z|=2z-1[/math]
Sia
[math]z=a+jb[/math]
[math]|z|=\sqrt{a^2+b^2}[/math]
per cui l'equazione si riscrive:
[math](a+jb)\sqrt{a^2+b^2}=(2a-1)+2jb[/math]
cioè
[math]a \cdot \sqrt{a^2+b^2}+jb\sqrt{a^2+b^2}=(2a-1)+2jb[/math]
ed uguagliando parti reali ed immaginarie si ha:
[math]a \cdot \sqrt{a^2+b^2}=2a-1[/math]
e
[math]b\sqrt{a^2+b^2}=2b[/math]
.
L'equazione
[math]b\sqrt{a^2+b^2}=2b[/math]
ha soluzione
[math]b=0[/math]
oppure [math]\sqrt{a^2+b^2}=2[/math]
Considerando allora
[math]\sqrt{a^2+b^2}=2[/math]
e sostituendo in [math]a \cdot \sqrt{a^2+b^2}=2a-1[/math]
si trova
[math]2a=2a-1[/math]
cioè [math]0=-1[/math]
il che è impossibile. Invece se
[math]b=0[/math]
l'equazione diventa
[math]a|a|=2a-1[/math]
Se
[math]a>0[/math]
l'equazione diventa [math]a^2-2a+1=0[/math]
che implica [math]a=1[/math]
Se
[math]a l'equazione diventa
[math]a^2+2a-1=0[/math]
da cui [math]a=-1+-\sqrt{2}[/math]
di cui solo [math]a=-1-\sqrt{2}[/math]
è accettabile perchè soddisfa [math]a
Quindi tali
[math]z[/math]
soddisfano l'equazione:
[math]z=1[/math]
e
[math]z=-\sqrt{2}-1[/math]
FINE
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