descrizione del minimo comune multiplo

Minimo Comune Multiplo


Il minimo comune multiplo di più numeri (mcm) è il più piccolo multiplo comune a tutti i numeri in questione; in altre parole, è il numero più piccolo possibile che è divisibile per ognuno dei numeri di cui sto cercando l'mcm.

Calcolarlo è semplice, ma bisogna saper scomporre in fattori primi un numero!
Se sai farlo puoi saltare questa parte di riepilogo.

Scomporre in fattori primi

Supponiamo di voler scomporre in fattori primi un numero, ad esempio 90.
La prima domanda che devo farmi è "qual è il più piccolo numero primo per cui tale numero è divisibile?"; se il numero è pari la risposta è semplice in quanto sarà divisibile per 2, se non lo è devo iniziare a vedere se è divisibile per 3, poi per 5, per 7 e così via... Trovato il numero che ci occorre devo dividere il numero che voglio scomporre per questo numero primo: 90:2=45.
A questo punto devo farmi la stessa domanda, ma considerando il risultato di questa divisione, cioè 45. Noto che il numero più piccolo che lo divide è 3, quindi, come prima, calcolo il risultato della divisione 45:3=15. Vado avanti così fino a quando non ottengo 1 come risultato; quindi:

90:2=45
45:3=15
15:3=5
5:5=1

Ora l'unica cosa che devo farmi è scrivermi il numero di partenza, cioè 90, come il prodotto di tutti i numeri primi per cui ho diviso! Ottengo quindi:

[math]90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5 [/math]

che è la scomposizione in fattori primi di 90.

Ora che sappiamo come procedere per avere la scrittura del numero in fattori primi, trovare l'mcm sarà una passeggiata. Mostriamo come si fa con un esempio.

Come trovo l'mcm?

Supponiamo di voler calcolare l'mcm dei numeri 6 e 28. Scomponiamo i numeri in fattori primi:
[math] 6 = 2 \cdot 3 [/math]

[math] 28 = 2^2 \cdot 7 [/math]

Per calcolare l'mcm devo considerare tutti i numeri che compaiono nella scomposizione di entrambi: se ce ne è qualcuno in comune, come il 2 nel nostro esempio, considero solo quello con la potenza più grande (quindi
[math]2^2[/math]
), mentre quelli che non sono in comune li prendo tutti. La moltiplicazione di questi numeri sarà il mcm cercato.
Nel nostro esempio:
[math] mcm(6,28)=2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 84 [/math]

Per completezza facciamo anche un esempio riguardante tre numeri. Supponiamo di voler trovare l'mcm tra 4, 21 e 32.
[math] 4 = 2^2 [/math]

[math] 21 = 3 \cdot 7 [/math]

[math] 32 = 2^5 [/math]

numeri in comune tra le fattorizzazioni: 2 (quindi scelgo quello con la potenza più alta, cioè
[math]2^5[/math]
)
numeri non in comune: 3 e 7
[math] mcm(4,21,32)=2^5 \cdot 3 \cdot 7 = 672 [/math]

NOTA: essendo il mcm il più piccolo numero che è divisibile per entrambi i numeri, se cerco il mcm di due numeri di cui uno divide l'altro, avrò che il più grande tra i due è il mcm! Ad esempio, se cerco il mcm tra 3 e 27, ho che 3 divide 27, quindi mcm(3,27)=27.
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