Massimo comun divisore e minimo comune multiplo

Nel seguente appunto analizzeremo separatamente le definizioni di Massimo Comun Divisore (anche detto MCD) e Minimo Comune Multiplo (anche detto mcm), vedendo come sono calcolati e anche qualche esercizio svolto che richiede l'utilizzo di questi strumenti. Per calcolarli è fondamentale conoscere la scomposizione in fattori primi.

MCD (Massimo Comun Divisore)

In matematica, il Massimo Comun Divisore (di due o più numeri) è il numero naturale più grande per il quale tutti i numeri presi in considerazione possono essere divisi.

Due o più numeri si dicono primi fra loro (o coprimi se il loro massimo comun divisore è uguale a 1.
È il caso, ad esempio, delle frazioni che non si possono semplificare. Se in una frazione non è possibile semplificare numeratore e denominatore, allora numeratore e denominatore sono primi tra loro.

Esempio:

quindi 9 e 28 sono primi tra loro (non esiste nessun numero più grande di 1 per il quale sono entrambi divisibili). Tuttavia, perché sono entrambi multipli di 2 (e non esiste divisore comune più grande), quindi 38 e 40 non sono primi tra loro.

Una proprietà molto importante è la seguente: il Massimo Comun Divisore tra due numeri è sempre minore o uguale a ciascuno dei due numeri.
Inoltre, il Massimo Comun Divisore tra due numeri è uguale al Massimo Comun Divisore tra la differenza tra i due numeri e uno dei due numeri.

Il Massimo Comun Divisore può essere calcolato determinando la scomposizione in fattori primi dei numeri dati ed esso è pari al prodotto di tutti i fattori comuni, presi una sola volta, con l'esponente più piccolo.

Esempio: Calcolare

.

Scomponiamo i due numeri in questione, otteniamo che

e .
Il fattore 2 è comune ad entrambi i numeri, così come il fattore 3, ma non il fattore 7 che è presente solamente in .
Il fattore comune 2 va preso una sola volta in quanto va preso l'esponente più piccolo (che nel caso del è uno, ma sottointeso), così come il fattore comune 3 (nel caso di compare solo una volta).
Il Massimo Comun Divisore corrisponde al prodotto di tutti questi fattori. Quindi .

Mcm (minimo comune multiplo)

In matematica, il minimo comune multiplo di due o più numeri, è il più piccolo numero naturale multiplo di tutti i numeri presi in considerazione.

Contrariamente al Massimo Comun Divisore, il minimo comune multiplo di due o più numeri è sempre maggiore o uguale ad ognuno dei numeri presi in considerazione.
Il minimo comune multiplo torna spesso utile nell'effettuare la somma (o la differenza) tra due o più frazioni, poiché è necessario calcolare il minimo comun denominatore, cioè il minimo comune multiplo tra i denominatori.

Per ulteriori approfondimenti sulle operazioni tra frazioni vedi anche qua

Per calcolare il minimo comune multiplo tra due o più numeri, bisogna tener conto della seguente regola: esso è il prodotto di tutti i fattori primi comuni e non comuni, presi in considerazione una sola volta con l'esponente più grande possibile. In pratica l'esatto contrario del Massimo Comun Divisore, e per questa ragione, considerati due numeri, il prodotto tra il loro massimo comun divisore e il loro minimo comune multiplo è sempre uguale al prodotto tra i due numeri.
Dopo aver effettuato quindi la scomposizione in fattori primi andiamo a confrontare i diversi risultati per poi scegliere i numeri comuni e non comuni citati una sola volta con esponente maggiore.

Esempio: Calcolare

.

Effettuiamo la scomposizione dei due numeri: otteniamo, quindi,

e .
I fattori primi che compaiono in tutti e due i numeri sono: . Comunque non compaiono, in nessuno dei fattori qui citati, esponenti maggiori di 1.
Quindi .

Per ulteriori approfondimenti sulla scomposizione in fattori primi vedi anche qua

Problema di esempio

Marco, Luca e Paolo sono tre amici lavoratori che si sono incontrati oggi. Marco ha il giorno libero ogni 2 giorni, Luca ogni 6 giorni, Paolo ogni 13 giorni. Tra quanto tempo i tre amici si potranno incontrare tutti insieme perché liberi dal lavoro?

Supponiamo che il giorno di incontro sia 0. Allora, Marco sarà libero dopo 2 giorni, Luca dopo 6, Paolo dopo 13. Bisogna trovare il numero di giorno che sia divisibile sia per 2, che per 6, che per 13, così sarà giorno libero per tutti e 3. Per fare questo, calcoliamo quindi

.
I numeri 2 e 13 sono primi, mentre . Il minimo comune multiplo tra i numeri in questione è quindi dato da .
I tre amici si incontreranno nuovamente quindi tra 78 giorni.