Matrici e operazioni con le matrici

In questo appunto vengono analizzate in modo dettagliato le matrici: viene fornita una definizione, viene descritta la struttura, la notazione e viene spiegato come eseguire le operazioni tra le matrici (somma, differenza, prodotto tra matrice e uno scalare e prodotto tra due matrici).

Matrici: notazioni e matrici notevoli

Una matrice è un elemento che viene molto utilizzato in algebra lineare ed è una tabella ordinata di elementi, è quindi molto importante l’ordine in cui vengono riportati gli elementi.
Dato che una matrice può essere definita come una tabella, in una matrice possono essere riconosciute le righe (numeri che sono disposti in modo orizzontale) e colonne (numeri che sono disposti lungo la verticale).

Generalmente i numeri che costituiscono la matrice sono disposti in modo ordinato e vengono raccolti all’interno di parentesi tonde, in alternativa si può trovare una notazione compatta in cui gli elementi vengono riportati in una stessa riga e in cui si utilizza la virgola per differenziare le diverse righe che compongono la matrice.
Riportiamo in seguito un esempio che permette di comprendere meglio tale notazione.

A=(1 2 3 , 4 5 6 , 7 8 9)

Data una matrice può essere definita la dimensione della matrice, tale elemento ci dà un’idea del numero di righe e di colonne che costituiscono la matrice:

• m=numero di righe che costituiscono la matrice
• n=numero di colonne che costituiscono la matrice

= insieme delle matrici con m righe ed n colonne a coefficienti in K.

Una matrice si definisce quadrata se il numero di righe è uguale al numero di colonne, quindi se n=m
Mn(K) = insieme delle matrici quadrate di ordine n a coefficienti in K
i-esima riga:

j-esima colonna:

dove i= indice di riga e j= indice di colonna

Data una matrice è possibile costruire la matrice trasposta si considera ogni elemento che compone la matrice, si individuano gli indici che lo definiscono e lo si posizionando nel punto che è caratterizzata dagli indici invertiti.
Matrice trasposta

Matrice simmetrica

tale che

Matrice triangolare alta (risp. bassa)

tale che

se i>j(risp. i

Matrice diagonale = triangolare alta e bassa

se i 6= j

Diagonale principale di una matrice quadrata (

)

Somma di matrici

Date due matrici

, si dice matrice somma di A eB la matrice

. L'operazione di somma è un'operazione binaria interna.

Per eseguire l’operazione di somma tra matrici è necessario quindi sommare ogni coppia di elementi delle due matrici che si trovano nella stessa posizione e che quindi sono caratterizzati dagli stessi indici.
Riportiamo in seguito un esempio per comprendere meglio la somma di matrici; consideriamo le matrici:

La matrice somma sarà:

La somma tra matrici rispetta tutte le proprietà dell’operazione di somma tra numeri, compressa la proprietà commutativa.

Per ulteriori approfondimenti sulla proprietà commutativa vedi anche qua

Prodotto per uno scalare

Ricordiamo che il termine scalare indica un numero, si utilizza tale termine per differenziarlo dal vettore o dalla matrice.
Dati

, si dice matrice prodotto di α per A la matrice

Per eseguire il prodotto tra un numero e la matrice è quindi necessario moltiplicare ogni singolo elemento della matrice per lo scalare.
Riportiamo in seguito un esempio per comprendere meglio il prodotto tra uno scalare e una matrice; consideriamo la matrice e lo scalare 2:

Prodotto righe per colonne

Date due matrici

, si dice matrice prodotto di A per B la matrice

, tale che

=Somma da j=1 a n (

)

Date due matrici, se si vuole eseguire il prodotto tra le matrici è necessario effettuare il cosiddetto “prodotto riga per colonna”; tale prodotto consiste nel considerare la prima riga della prima matrice, la prima colonna della seconda matrice, moltiplicare gli elementi in modo ordinato ed eseguirne la somma, il numero che si ottiene è il primo elemento della matrice prodotto.
Poi si prosegue il procedimento considerando sempre la prima riga della prima matrice e le colonne successive della seconda matrice, i valori che si ottengono sono gli elementi della prima riga della matrice prodotto.
Si prosegue poi in maniera analoga considerando le righe successive della prima matrice.

È importante prestare attenzione all’ordine in cui vengono riportate le matrici nel prodotto perché il prodotto di matrici, a differenza del prodotto tra numeri, non rispetta la proprietà commutativa.

Per ulteriori approfondimenti sul prodotto tra matrici vedi anche qua