In quest'appunto troverai una spiegazione approfondita di tutte le proprietà relative ai logaritmi, ossia quelle legate alla somma, al prodotto, al quoziente, alla potenza, alla radice e al cambiamento di base.
Indice
Cos'è e come si indica un logaritmo
Dati due numeri positivi[math]a[/math]
e [math]b[/math]
con [math]a[/math]
diverso da 1, si dice logaritmo in base[math]a[/math]
del numero [math]b[/math]
l’esponente[math]x[/math]
che occorre dare ad [math]a[/math]
per ottenere [math]b[/math]
.[math]X=log_a (b)[/math]
In base alla definizione appena fornita, le seguenti due uguaglianze risultano equivalenti:
[math]a^x=b ,log_a(b)=x[/math]
.I due numeri
[math]a[/math]
e [math]b[/math]
vengono rispettivamente chiamati base e argomento del logaritmo.Il logaritmo è definito solo se
[math]x>0[/math]
, [math]a>0[/math]
, [math]a \neq 1[/math]
. Ciò significa dire che non può esistere il logaritmo di un numero negativo o di un numero nullo.
Trovare un logaritmo equivale, infatti, a trovare un esponente.
Il grafico e la derivata di un logaritmo
Il grafico della funzione logaritmica è speculare rispetto a quello esponenziale, perché l’uno è l’inverso opposto dell’altro. Come abbiamo già detto, il numero[math]b[/math]
si chiama argomento del logaritmo e deve essere un numero positivo.La derivata di un logaritmo, invece, corrisponde al reciproco dell'argomento del logaritmo, moltiplicato per la derivata dell'argomento. Se, quindi, l'argomento è
[math]x[/math]
, la derivata è 1 e la derivata del logaritmo corrisponde semplicemente al reciproco dell'argomento.
[math]\frac{d log(A(x))}{dx}=\frac{1}{x}\cdot\frac{dA(x)}{dx}[/math]
, quindi se [math]A(x)=x[/math]
, allora [math]\frac{d log(x)}{dx}=\frac{1}{x}[/math]
Quali sono le proprietà dei logaritmi
I logaritmi hanno delle proprietà che possono essere sfruttate nel corso degli esercizi per semplificare o velocizzare i calcoli. Esse risultano molto utili soprattutto nella risoluzione di equazioni e disequazioni logaritmiche, cioè quelle in cui l'incognita appare una o più volte nell'argomento di un logaritmo. In particolare:- Il [math]log_a(b)[/math]è positivo, se:[math]a>0 e b>0[/math]o[math]0>a>1 e 0>b>1[/math]
- Il [math]log_a(b)[/math]è negativo, se:[math]a>1 e 0>b>1,[/math]o[math]0>a>1 e b>1[/math]
-
[math]log_a(a)=1[/math], perché[math]a^1=a[/math]
-
[math]log_a(1)=0[/math], perché[math]a^0=1[/math]
- se due numeri sono uguali, anche i loro logaritmi (rispetto alla stessa base) sono uguali, e viceversa
- se la base [math]a[/math]è maggiore di 1, al crescere del numero[math]b[/math], cresce anche il logaritmo di questo
- se la base [math]a[/math]è minore di 1, al crescere del numero[math]b[/math], il logaritmo decresce
Infine, possiamo anche dire che:
- Non si può parlare di logaritmo di un numero rispetto alla base 1, o rispetto a una base negativa o nulla
- Non esiste il logaritmo di un numero negativo
- L’insieme dei logaritmi di tutti i numeri positivi, rispetto a una data base a, si chiama sistema dei logaritmi a base a.
Tra gli infiniti possibili sistemi di logaritmi, due sono quelli che comunemente si considerano: quello in base 10[math](log)[/math]e quello in base e[math](ln)[/math]
Le proprietà dei logaritmi legati alle operazioni matematiche
I logaritmi godono di alcune proprietà quando l'argomento è una funzione composta da una somma algebrica, un prodotto o un quoziente di funzioni, a patto che tutti i singoli termini delle uguaglianze siano definiti. In particolare:- Il logaritmo di un prodotto di fattori positivi è uguale alla somma dei logaritmi dei singoli fattori:[math]log_a(b\cdot c\cdot d\cdot …) = log_a(b)+log_a(c)+log_a(d)+…[/math]
- Il logaritmo di un quoziente di due numeri positivi è uguale alla differenza tra il logaritmo del dividendo e il logaritmo del divisore.[math]log_a(\frac{b}{c})=log_a(b)-log_a(c) [/math]
- il logaritmo della potenza di un numero positivo, a esponente reale qualunque, è uguale al prodotto dell’esponente per il logaritmo della base della potenza:[math]log_a(b)^x= x\cdot log_a(b) [/math]
- il logaritmo in base [math]a[/math]di un numero b diverso da 1, è uguale al reciproco del logaritmo in base b del numero a:[math]log_a(b)=\frac{1}{log_(b)(a)} [/math]
- il logaritmo in base [math]a[/math]di un numero[math]N[/math]è uguale al prodotto tra il logaritmo dello stesso numero[math]N[/math]in un’altra base[math]b[/math]e il reciproco del logaritmo di[math]a[/math]in base[math]b[/math]:[math]log_a(N)=log_a(N) \cdot \frac{1}{log_{b}(a)}=log_b(N)/log_b(a)[/math]
Tali proprietà valgono anche in senso inverso, per esempio:
la somma di due logaritmi in una stessa base è uguale al logaritmo del prodotto degli argomenti.
[math]log_a(b)+log_a(c) = log_a(b\cdot c)[/math]
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