Principali proprietà dei logaritmi: definizioni ed esempi

In quest'appunto troverai una spiegazione approfondita di tutte le proprietà relative ai logaritmi, ossia quelle legate alla somma, al prodotto, al quoziente, alla potenza, alla radice e al cambiamento di base.

Cos'è e come si indica un logaritmo

Dati due numeri positivi

e

con

diverso da 1, si dice logaritmo in base

del numero

l’esponente

che occorre dare ad

per ottenere

.

In base alla definizione appena fornita, le seguenti due uguaglianze risultano equivalenti:

.
I due numeri

e

vengono rispettivamente chiamati base e argomento del logaritmo.
Il logaritmo è definito solo se

,

,

.

Ciò significa dire che non può esistere il logaritmo di un numero negativo o di un numero nullo. Trovare un logaritmo equivale, infatti, a trovare un esponente.

Il grafico e la derivata di un logaritmo

Il grafico della funzione logaritmica è speculare rispetto a quello esponenziale, perché l’uno è l’inverso opposto dell’altro. Come abbiamo già detto, il numero

si chiama argomento del logaritmo e deve essere un numero positivo.

La derivata di un logaritmo, invece, corrisponde al reciproco dell'argomento del logaritmo, moltiplicato per la derivata dell'argomento. Se, quindi, l'argomento è

, la derivata è 1 e la derivata del logaritmo corrisponde semplicemente al reciproco dell'argomento.

, quindi se

, allora

Quali sono le proprietà dei logaritmi

I logaritmi hanno delle proprietà che possono essere sfruttate nel corso degli esercizi per semplificare o velocizzare i calcoli. Esse risultano molto utili soprattutto nella risoluzione di equazioni e disequazioni logaritmiche, cioè quelle in cui l'incognita appare una o più volte nell'argomento di un logaritmo. In particolare:

• Il
  [math]log_a(b)[/math]
  è positivo, se:
  [math]a>0 e b>0[/math]
  o
  [math]0>a>1 e 0>b>1[/math]
• Il
  [math]log_a(b)[/math]
  è negativo, se:
  [math]a>1 e 0>b>1,[/math]
  o
  [math]0>a>1 e b>1[/math]
• [math]log_a(a)=1[/math]
  , perché
  [math]a^1=a[/math]
• [math]log_a(1)=0[/math]
  , perché
  [math]a^0=1[/math]
• se due numeri sono uguali, anche i loro logaritmi (rispetto alla stessa base) sono uguali, e viceversa
• se la base
  [math]a[/math]
  è maggiore di 1, al crescere del numero
  [math]b[/math]
  , cresce anche il logaritmo di questo
• se la base
  [math]a[/math]
  è minore di 1, al crescere del numero
  [math]b[/math]
  , il logaritmo decresce

Infine, possiamo anche dire che:

• Non si può parlare di logaritmo di un numero rispetto alla base 1, o rispetto a una base negativa o nulla
• Non esiste il logaritmo di un numero negativo
• L’insieme dei logaritmi di tutti i numeri positivi, rispetto a una data base a, si chiama sistema dei logaritmi a base a.
  Tra gli infiniti possibili sistemi di logaritmi, due sono quelli che comunemente si considerano: quello in base 10
  [math](log)[/math]
  e quello in base e
  [math](ln)[/math]

Le proprietà dei logaritmi legati alle operazioni matematiche

I logaritmi godono di alcune proprietà quando l'argomento è una funzione composta da una somma algebrica, un prodotto o un quoziente di funzioni, a patto che tutti i singoli termini delle uguaglianze siano definiti. In particolare:

• Il logaritmo di un prodotto di fattori positivi è uguale alla somma dei logaritmi dei singoli fattori:
  
  [math]log_a(b\cdot c\cdot d\cdot …) = log_a(b)+log_a(c)+log_a(d)+…[/math]
• Il logaritmo di un quoziente di due numeri positivi è uguale alla differenza tra il logaritmo del dividendo e il logaritmo del divisore.
  
  [math]log_a(\frac{b}{c})=log_a(b)-log_a(c) [/math]
• il logaritmo della potenza di un numero positivo, a esponente reale qualunque, è uguale al prodotto dell’esponente per il logaritmo della base della potenza:
  
  [math]log_a(b)^x= x\cdot log_a(b) [/math]
• il logaritmo in base
  [math]a[/math]
  di un numero b diverso da 1, è uguale al reciproco del logaritmo in base b del numero a:
  
  [math]log_a(b)=\frac{1}{log_(b)(a)} [/math]
• il logaritmo in base
  [math]a[/math]
  di un numero
  [math]N[/math]
  è uguale al prodotto tra il logaritmo dello stesso numero
  [math]N[/math]
  in un’altra base
  [math]b[/math]
  e il reciproco del logaritmo di
  [math]a[/math]
  in base
  [math]b[/math]
  :
  
  [math]log_a(N)=log_a(N) \cdot \frac{1}{log_{b}(a)}=log_b(N)/log_b(a)[/math]

Tali proprietà valgono anche in senso inverso, per esempio:
la somma di due logaritmi in una stessa base è uguale al logaritmo del prodotto degli argomenti.

Per ulteriori approfondimenti sul logaritmo vedi anche qua