Funzione arcotangente: definizione e proprietà

Nel paragrafo seguente verranno ripresi alcuni concetti fondamentali della trigonometria per meglio comprendere e spiegare il significato della funzione goniometria argotangente.

La funzione arcotangente

Nel presente appunto di algebra ci proponiamo di spiegare nel dettaglio che cosa si intende per funzione arcotangente.
Nel procedere in questa spiegazione, è necessario conoscere ed avere domestichezza con le altre funzioni goniometriche come seno, coseno, e, in particolare, la funzione tangente, poiché, come è possibile intuire dal nome, è connessa alla funzione arcotangente. Sebbene i concetti base relativi a questa funzione verranno comunque richiamati, si consiglia ugualmente, qualora il concetto di tangente risultasse poco chiaro, di consultare gli appunti ad esso relativi. Nel dettaglio, queste funzioni goniometriche permettono la conversione del valore di un angolo in un numero puro, e viceversa. Per esempio, il seno di un angolo restituisce il valore dell’ordinata di un punto P appartenente alla circonferenza trigonometrica, mentre il coseno quello dell’ascissa; la definizione di tangente invece, è data dalla "seconda relazione fondamentale della trigonometria", secondo cui: "la tangente di un angolo è data dal rapporto tra il suo seno e il suo coseno".


Ad ogni modo, dal punto di vista applicativo le funzioni trigonometriche vengono utilizzate per definire le relazioni tra angoli e lati di un triangolo rettangolo. In particolare, si definisce tangente di uno qualsiasi degli angoli acuti di un triangolo rettangolo il rapporto tra il cateto opposto all'angolo considerato, e il cateto adiacente.

La funzione tangente è inoltre, una funzione periodica cioè assume periodicamente gli stessi valori, con un periodo di 180°(o π se lo vogliamo esprimere in radianti), cioè un angolo . Di conseguenza la tangente di un angolo di 0° è uguale alla tangente di un angolo di 180°, così come la tangente di 90° è uguale alla tangente di un angolo di 270° (=90°+180°).


Dopo questo breve riepilogo sulle funzioni fondamentali della trigonometria, passiamo alla spiegazione della funzione arcotangente.
Normalmente quando utilizziamo le funzioni goniometriche il valore dell'angolo è noto, mentre il valore da calcolare è quello della tangente (o del seno, o del coseno), cioè x.


Adesso, poniamoci nel caso inverso, utilizzando la seguente equazione goniometrica elementare:


Stavolta, la soluzione di questa equazione consiste nel determinare quali sono gli angoli x per cui la tangente è uguale al valore a. La stessa equazione può essere scritta anche in questa forma:


Dove prende il nome di funzione arcotangente. Nonostante le due forme appena viste sono differenti, il significato rimane invariato. Possiamo quindi dire che la funzione arcotangente permette di calcolare l’arco, e di conseguenza anche l’angolo, la cui tangente è uguale al valore di a.
Bene, a questo punto, dopo aver dato la definizione di funzione arcotangente, possiamo passare al prossimo paragrafo in cui verranno descritte le sue proprietà.

Proprietà della funzione arcotangente

Data la definizione, vista nel paragrafo precedente, possiamo dire che la funzione "arcotangente" presenta le seguenti proprietà:

• è una funzione goniometrica inversa, in particolare è la funzione inversa della funzione tangente, quindi possiamo scrivere che:
  
  [math]\tan^{-1}(x)=\arctan(x)[/math]
  ;


• è limitata in quanto assume valori che vanno da
  [math]-\frac{\pi}{2}[/math]
  a
  [math]+\frac{\pi}{2}[/math]
  . Questa proprietà dipende dal fatto che la funzione tangente è definita soltanto in questo intervallo ed è inoltre, periodica; di conseguenza il massimo valore che può assumere è
  [math]+\frac{\pi}{2}[/math]
  e il minimo è
  [math]-\frac{\pi}{2}[/math]
  ;


• è una funzione dispari;


• continua in tutto R, a differenza della funzione tangente che risulta discontinua nei valori di
  [math]x=\frac{\pi}{2}+k \pi[/math]
  , in particolare si tratta di un punto di discontinuità di II specie;


• derivabile in tutto R;


• monotona strettamente crescente;


• è infinitivoca poiché esistono infiniti angoli che hanno lo stesso valore di tangente;

Adesso cerchiamo di capire meglio l’ultima proprietà. In particolare, se scriviamo:

Si dice che y è uno degli infiniti archi/angoli la cui tangente è x. Inoltre, abbiamo detto che la funzione è definita per qualunque valore reale della x, e ad ogni x reale corrispondono infinite y.
Come ricavare allora il valore dell'angolo, se ad ogni valore della tangente corrispondono infiniti angoli? La soluzione è quella di limitare la variabilità della y, o per meglio dire, suddividere l'insieme di variabilità della y (cioè R) in infiniti intervalli all'interno dei quali essa è univoca. Ma quali intervalli prendere?
Per prima cosa ricordiamo che la funzione arcotangente può anche essere esplicitata rispetto alla x; in questo caso abbiamo:


Bene, adesso ricordiamo che la tangente ha un periodo pari a π. Ricordiamo inoltre, quali sono i valori che essa assume nel percorrere la circonferenza goniometrica. Per l'esattezza tale funzione è definita per:
con

Alla luce di tutto questo, suddivideremo l'insieme di variabilità della y in infiniti intervalli aperti del tipo:.

In questo modo avremo un solo valore di angolo y per ogni valore di x, in quanto adesso y è definito in un intervallo finito.
Guardando la rappresentazione grafica nel paragrafo successivo, possiamo rappresentare questi intervalli come rette parallele all’asse delle ordinate.

Rappresentazione grafica della funzione arcotangente

Dopo aver dato la definizione della funzione arcotangente ed elencato le sue proprietà, possiamo completare l’appunto con una rappresentazione grafica di quest’ultima.
In particolare, come tutte le funzioni inverse, il grafico della funzione arcotangente (FIGURA in allegato) è ottenuto da quello della sua funzione diretta, cioè quello noto della funzione tangente, a cui risulta simmetrico rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante.