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La funzione arcotangente


Nel presente appunto ci proponiamo di spiegare nel dettaglio che cosa si intende per arcotangente, importante funzione trigonometrica inversa.

Nel procedere in questa spiegazione, si darà per scontata la conoscenza della funzione trigonometrica "tangente", che, come è possibile intuire dal nome, è connessa alla funzione arcotangente. Sebbene i concetti base relativi a questa funzione verranno comunque richiamati, si consiglia ugualmente, qualora il concetto di tangente risultasse poco chiaro, di consultare gli appunti ad esso relativi.

Si definisce tangente di uno qualsiasi degli angoli acuti di un triangolo rettangolo il rapporto tra il cateto opposto all'angolo considerato e il cateto adiacente. La "seconda relazione fondamentale della trigonometria" ci permette di dare della tangente anche un'altra definizione: "la tangente di un angolo è data dal rapporto tra il suo seno e il suo coseno".

[math]\frac{sen(α)}{cos(α)} = tan(α)[/math]

Normalmente il valore dell'angolo è noto e il valore da calcolare è quello della tangente, che sarà unico. La funzione tangente è inoltre periodica (cioè assume periodicamente gli stessi valori), con periodo pari all'arco piatto (π = 180°).

Scriviamo adesso la seguente equazione goniometrica elementare:

[math]tan(x)= a[/math]

La soluzione di questa equazione consiste stavolta nel determinare quali sono gli angoli la cui tangente è uguale al valore a. La stessa equazione può in alternativa essere scritta in questa forma:

[math]x = arc tan(a)[/math]

Ulteriori sviluppi


La funzione "arcotangente" appena scritta è una funzione goniometrica inversa. Essa è anche infinitivoca, cioè esistono infiniti angoli che hanno quel particolare valore di tangente.

Scriviamo adesso:

[math]y = arc tan(x)[/math]

Si dice che y è uno degli infiniti archi/angoli la cui tangente è x. La funzione è definita per qualunque valore reale della x, e ad ogni x reale corrispondono infinite y.

Come ricavare allora il valore dell'angolo, se ad ogni valore della tangente corrispondono infiniti angoli? La soluzione sembra essere quella di limitare la variabilità della y. O per meglio dire, suddividere l'insieme di variabilità della y in infiniti intervalli all'interno dei quali essa è univoca. Ma quali intervalli prendere?

La funzione arcotangente può anche essere esplicitata rispetto alla x. In questo caso diviene:

[math]x = tan(y)[/math]

Ricordiamo che la tangente ha un periodo pari a π. Ricordiamo anche quali sono i valori che essa assume nel percorrere la circonferenza goniometrica. Per l'esattezza occorre ricordare che tale funzione è definita per y diverso da:

[math] \frac{π}{2} + kπ[/math]

Alla luce di tutto questo, suddivideremo l'insieme di variabilità della y in infiniti intervalli aperti:

[math] (\frac{-π}{2} + kπ; \frac{π}{2} + kπ)[/math]
)

Il grafico della funzione arcotangente (FIGURA in allegato) è ottenuto da quello noto della funzione tangente, a cui risulta simmetrico rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante.

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