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Forme indeterminate


Con il termine "forme indeterminate" si intendono in matematica quei "risultati" che si ottengono generalmente durante le operazioni di passaggio al limite di alcune funzioni, e che portano a formule finali di non facile interpretazione.

Nel presente appunto si cercherà di spiegare molto brevemente quali sono i problemi connessi alla soluzione delle forme indeterminate e quali sono le principali strategie per giungere a tale soluzione. Sarà dunque una trattazione semplice, introduttiva all'argomento e alla sua difficoltà: le tecniche risolutive saranno in altre parole menzionate e brevemente descritte, ma non le si illustreranno nel dettaglio.

Le forme indeterminate sono convenzionalmente sette:
[math]∞^0[/math]

[math]\frac{0}{0} [/math]

[math]\frac{∞}{∞} [/math]

[math]∞\cdot (-∞)[/math]

[math]0\cdot∞ [/math]

[math]1^∞[/math]

Se introduciamo poi il concetto di +∞ e -∞, esse aumentano ancora di più.

La prima cosa da fare quando ci si trova di fronte ad una forma indeterminata, è chiedersi se si è veramente di fronte ad una forma indeterminata.

Ad esempio:

[math]\frac{-5}{+∞}[/math]

...non è una forma indeterminata, perchè ha come risultato:

[math]0^-[/math]
.

Allo stesso modo occorre fare attenzione che con diversi "trucchetti" (mettere in evidenza una variabile, semplificare il denominatore con il numeratore, ecc.) l'indeterminazione possa essere eliminata.
Quindi ci dobbiamo fermare solamente quando siamo veramente di fronte a forme indeterminate, la più classica delle quali è ad esempio:

[math]\lim_{x \to 0}\frac{sen(x)}{x} = \frac{0}{0} [/math]

A questo punto, appurato che si tratta di una vera forma indeterminata non risolvibile tramite particolari "trucchetti", possiamo dire che ci sono una buona notizia ed una cattiva notizia.

La buona notizia è che esistono diversi metodi (o tecniche) per "sbrogliare" le forme indeterminate.
Una di queste è quella di portare la funzione in esame ad essere un "limite notevole". Ricordiamo che i limiti notevoli sono una serie di limiti "standard" per i quali già è stata trovata la soluzione.
Ad esempio nel limite precedente:

[math]\lim_{x \to 0}\frac{sen(x)}{x} = \frac{0}{0} [/math]

...la soluzione già trovata è che quel limite vale 1.

Ulteriori sviluppi


Se riusciamo a portare il complesso della nostra funzione, attraverso semplificazioni e modificazioni, ad essere un limite notevole, ne abbiamo a quel punto anche trovata la soluzione.

Un altro metodo è quello di usare le regole de l'Hôpital, nel merito delle quali non entriamo.

Un altro metodo è quello di calcolare il limite facendone diversi sviluppi in serie di Taylor, usando quindi le derivate.

Esistono almeno una quarantina di metodi per sbrogliare le varie forme indeterminate. Già questa è una cattiva notizia all'interno della buona notizia, poichè esistendo tanti metodi non è quindi facile scegliere quale sia più opportuno o utile usare.

Ma vi è una cosa peggiore, e questa è la cattiva notizia a cui si accennava precedentemente. E cioè che di tutti i metodi esistenti nessuno è particolarmente indicato per la soluzione di una forma indeterminata.
In altre parole, non esiste un metodo specifico per ogni singola forma indeterminata: ogni metodo può andare bene in alcuni casi, o non portare a nulla in altri anche all'interno della stessa forma di indeterminazione.

Ad esempio ci sono dei limiti che portano ad una indeterminazione di tipo 0/0 che si risolvono bene con il teorema de l'Hôpital; ma ci sono anche limiti di altre funzioni che portano alla indeterminazione 0/0, ma che con il teorema de l'Hôpital non portano a nessuna soluzione.

Quindi, sebbene sia matematicamente difficile da accettare, solo l'intuizione, la pratica e l'abitudine portano alla scelta della metodologia più adatta per risolvere una forma indeterminata.

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