Forme di indeterminazione: cosa sono e quali sono?

Nel paragrafo seguente daremo qualche informazione base sulle possibili forme di indeterminazione che si possono avere in analisi matematica per la risoluzione di alcuni esercizi, soprattutto, nel caso dei limiri di una funzione.

Cosa si intende per forme indeterminate in analisi matematica?

In analisi matematica, con il termine "forme indeterminate" si intendono tutte quelle operazioni in cui non si può ottenere un risultati semplice, immediato o di facile interpretazione, come nelle classiche operazioni.

Per capire meglio quanto detto pensiamo alle classiche operazioni di somma o prodotto. Se vogliamo fare la somma di

, non vi è alcun dubbio che il risultato di tale operazione sia

. La soluzione è unica ed immediata, non ci sono altre interpretazioni o soluzioni possibili. Nel caso delle forme di indeterminazione invece, non è più così. Infatti, se vogliamo calcolare

, il risultato non è unico o immediato, perché nessun numero moltiplicato per 0 restituisce 2. Anche se provate a fare questo calcolo con la calcolatrice, non troverete mai una soluzione accettabile o universale. Ecco mostrata una prima forma di indeterminazione.
Ad ogni modo, le forme di Indeterminazione sono generalmente coinvolte nelle operazioni in cui si vuole calcolare il limite di una funzione o un infinitesimo.
Nel presente appunto si cercherà di spiegare molto brevemente quali sono i problemi connessi alla soluzione delle forme indeterminate e quali sono le principali strategie utilizzate per ottenere una soluzione. Sarà dunque una trattazione semplice e alla portata di tutti, introduttiva all'argomento e alla sua difficoltà: le tecniche risolutive saranno in altre parole menzionate e brevemente descritte, ma non verranno illustrate nel dettaglio.

Le forme indeterminate sono convenzionalmente sette, ovvero:

• [math]∞^0[/math]
• [math]\frac{0}{0} [/math]
• [math]\frac{∞}{∞} [/math]
• [math]∞\cdot (-∞)[/math]
• [math]0\cdot∞ [/math]
• [math]1^∞[/math]

Abbiamo detto “convenzionalmente” perché, se introduciamo il concetto di

e

, esse aumentano.
La prima cosa da fare quando ci si trova di fronte ad una forma indeterminata, è chiedersi se si tratta veramente di una forma indeterminata.
Ad esempio:

...questa non è una forma indeterminata, perché ha come risultato:

, cioè si sta dividendo un numero intero (positivo o negativo che sia, poco importa) per un numero talmente grande che tende a

, di conseguenza l’unica soluzione possibile può essere zero.
In altri casi invece, si può avere una forma di indeterminazione, ma occorre fare attenzione che non ci sia il modo di poter “eliminare” o “aggirare” la forma di indeterminazione utilizzando diversi "trucchetti" matematici, ad esempio mettendo in evidenza una variabile, attuando una semplificazione, facendo un raccoglimento o una sostituzione ecc... Quando siamo sicuri di non aver alcuna alternativa per risolvere il problema e siamo veramente di fronte ad una delle forme indeterminate elencate sopra, allora possiamo attuare uno dei metodi che vedremo tra poco, per risolverla.
Una delle forme indeterminate più classiche ad esempio è:

Questo limite corrisponde esattamente alla forma di indeterminazione

.
A questo punto, appurato che si tratta di una vera forma indeterminata non risolvibile tramite particolari "trucchetti", abbiamo una “buona notizia” ed una “cattiva notizia”, ovvero:

• La buona notizia è che esistono diversi metodi (o tecniche) per "sbrogliare" e risolvere le forme indeterminate;
• La cattiva notizia è che esistono almeno una quarantina di metodi per risolvere le varie forme indeterminate. Già questa è una cattiva notizia all'interno della buona notizia poiché esistendo tanti metodi e non facile scegliere quale sia quello più opportuno o utile al caso specifico. Ma vi è una notizia peggiore di questa, ovvero che di tutti i metodi esistenti nessuno è particolarmente indicato per la soluzione di una forma indeterminata.
  

Quindi, sebbene ci siano diversi modi per risolvere una forma indeterminata, solo l'intuizione, la pratica e l'abitudine portano alla scelta della metodologia più adatta per risolvere una forma indeterminata; questa solitamente è una cosa matematicamente difficile da accettare.
Data questa breve introduzione su cosa sono e quali sono le forme indeterminate in analisi matematica, nel prossimo paragrafo è riportato un esempio/applicazione per comprendere meglio quanto detto finora.

Sviluppi ed risoluzione delle forme indeterminate

Uno dei metodi più utilizzati per la risoluzione delle forme indeterminate è quella di portare la funzione in esame ad essere un "limite notevole". Ricordiamo che i limiti notevoli sono una serie di limiti "standard" per i quali già è stata trovata la soluzione.
Ad esempio, riprendiamo il limite precedente in cui avevamo la forma di indeterminazione:

Per questo limite la soluzione è già stata trovata, infatti sappiamo che questo limite vale

.
In generale, se riusciamo a ricondurre il complesso della nostra funzione, attraverso semplificazioni e modificazioni, alla forma di uno dei limiti notevoli che conosciamo già, ne abbiamo a quel punto anche trovato la soluzione.
Un altro metodo è quello di usare la regola di De l'Hôpital, oppure quello di calcolare il limite facendone diversi sviluppi in serie di Taylor, usando quindi le derivate.
In altre parole, non esiste un metodo specifico per ogni singola forma indeterminata: ogni metodo può andare bene in alcuni casi, o non portare a nulla in altri, anche all'interno della stessa forma di indeterminazione.
Ad esempio ci sono dei limiti che portano ad una indeterminazione di tipo

che si risolvono bene con il teorema de l'Hôpital; ma ci sono anche limiti di altre funzioni che portano alla indeterminazione

, ma che con il teorema de l'Hôpital non portano a nessuna soluzione. Solo la pratica, l’esperienza, la conoscenza e la logica possono aiutare.
In particolare, se si vuole approfondire questo argomento e vedere nel dettaglio come poter utilizzare i metodi appena nominati, nel prossimo paragrafo sono riportati alcuni link di approfondimento.

Approfondimenti sui limiti notevoli

Per chi volesse cimentarsi nella conoscenza dei metodi risolutivi utilizzati e prima accennati per la risoluzione delle forme di indeterminazione, di seguito sono elencati alcuni link di approfondimento:

• Limiti notevoli per la risoluzione di forme indeterminate;
• limiti notevoli;
• limiti notevoli con dimostrazione.