gio9567 di gio9567
Ominide 806 punti

Limite di una funzione

Calcolare il limite di una funzione per

[math]x[/math]
che si avvicina ad un determinato valore significa calcolare il valore che la funzione
[math]y[/math]
o
[math]f(x)[/math]
assume quando la
[math]x[/math]
si appresta ad assumere il valore stabilito.

Gli intorni : Un intorno è un intervallo formato da tutti i numeri reali che soddisfano la disequazione:

[math]x_0 – \delta < x < x_0 + \delta[/math]

gli intorni possono essere “destri di
[math]x_0[/math]
” se :
[math]x_0 < x < x_0 + \delta[/math]
per cui abbiamo limite destro.
gli intorni possono essere “sinistri di
[math]x_0[/math]
” se :
[math]x_0 - \delta < x < x_0[/math]
per cui abbiamo limite sinistro.

- Limite finito per

[math]x[/math]
che tende ad un numero finito: data una funzione
[math]y = f(x)[/math]
si dice che essa ha limite finito (
[math]l[/math]
) per
[math]x[/math]
che tende ad
[math]x_0[/math]
finito se, preso a piacere una quantità positiva e piccolissima
[math]\varepsilon[/math]
è possibile determinare in corrispondenza di esso un intorno completo di
[math]x_0[/math]
che appartiene all’insieme di definizione della funzione tale che per ogni
[math]x[/math]
di questo intorno risulti :
[math]l – \varepsilon < f(x) < l + \varepsilon[/math]

- Limite infinito per

[math]x[/math]
che tende ad un numero finito : si dice che una funzione
[math]f(x)[/math]
ha limite infinito per
[math]x[/math]
che tende ad un numero finito
[math]x_0[/math]
se, fissato un numero
[math]M[/math]
grandissimo a piacere è possibile determinare in corrispondenza di esso un intorno completo di
[math]x_0[/math]
contenuto nell’insieme di definizione della funzione.

- Limite finito per

[math]x[/math]
che tende ad infinito : si dice che una funzione
[math]y= f(x)[/math]
ha limite finito (
[math]l[/math]
) per
[math]x[/math]
che tende ad infinito se, presa una quantità
[math]\varepsilon[/math]
piccola positiva è possibile determinare in corrispondenza di essa un intorno di + infinito o un intorno di – infinito contenuto nell’insieme di definizione della funzione tale che per ogni
[math]x[/math]
di questo intorno si abbia :
[math]l – \varepsilon < f(x) < l + \varepsilon[/math]

- Limite infinito per

[math]x[/math]
che tende ad un numero infinito : si dice che una funzione
[math]f(x)[/math]
tende ad infinito per
[math]x[/math]
che tende ad un numero finito
[math]x_0[/math]
se, fissato un numero
[math]M[/math]
grandissimo a piacere è possibile determinare in corrispondenza di esso un intorno completo di
[math]x_0[/math]
contenuto nell’insieme di definizione della funzione.


Teorema dell'unicità del limite : Se una funzione

[math]f(x)[/math]
ammette un limite per
[math]x[/math]
che tende ad
[math]x_0[/math]
tale limite è unico


Teorema della permanenza del segno: Se per

[math]x[/math]
che tende ad
[math]x_0[/math]
la funzione
[math]f (x)[/math]
ha per limite un numero finito diverso da
[math]0[/math]
esiste un intorno di
[math]x_0[/math]
tale che per ogni
[math]x[/math]
la funzione assume valori dello stesso segno del limite.


Punti di discontinuità: Se una funzione non è continua in un punto

[math]x_0[/math]
tale punto è detto di discontinuità, esistono punti di discontinuità di prima seconda e terza specie. Quelli di prima specie si hanno quando nel punto
[math]x_0[/math]
il limite destro e sinistro esistono ma sono diversi. Quelli di seconda specie se nel punto
[math]x_0[/math]
non esiste o non è finito uno dei 2 limiti destro o sinistro. Quelli di terza specie si ha quando il limite finito esiste ma non esiste
[math]f(x_0)[/math]
.

Hai bisogno di aiuto in Algebra – Esercizi e Appunti di Algebra lineare?
Trova il tuo insegnante su Skuola.net | Ripetizioni
Registrati via email