Limite di una funzione - Definizione e proprietà fondamentali

In questo appunto di matematica viene descritto appieno il concetto di limite di una funzione, attraverso la spiegazione delle diverse definizioni di limite, e presentando le regole principali e i teoremi fondamentali dei limiti.

Limite di una funzione

Calcolare il limite di una funzione per

che si avvicina ad un determinato valore significa calcolare il valore che la funzione

assume quando la

si appresta ad assumere il valore stabilito.

In altre parole: il limite permette di studiare una funzione anche laddove non sia definita nel suo dominio. Si parla di punti di discontinuità, di non esistenza, in cui si vuole comprendere come la funzione si comporti in prossimità di queste situazioni.
In termini matematici un limite di una funzione viene definito come segue:

Esistono diverse definizioni di limite:

• Limite finito che tende ad un valore finito
• Limite finito che tende ad un valore infinito
• Limite infinito che tende ad un valore finito
• Limite infinito che tende ad un valore infinito

Gli intorni

Quando si introduce il concetto di limite si introduce anche il concetto di intorno di un punto.
Un intorno è un intervallo formato da tutti i numeri reali che soddisfano la disequazione:

Gli intorni possono essere destri di

se:

L'intorno destro sarà il mezzo attraverso cui si definirà il limite destro.
Gli intorni possono essere sinistri di

se:

L'intorno destro sarà il mezzo attraverso cui si definirà il limite sinistro.

Limite finito che tende ad un valore finito

Il limite finito per

che tende ad un numero finito viene definito come segue. Sia data una funzione

si dice che essa ha limite finito (

) per

che tende ad

finito se, preso a piacere una quantità positiva e piccolissima

è possibile determinare in corrispondenza di esso un intorno completo di

che appartiene all’insieme di definizione della funzione tale che per ogni

di questo intorno risulti:

Limite infinito che tende ad un valore finito

Limite infinito per

che tende ad un numero finito viene definito come segue. Si dice che una funzione

ha limite infinito per

che tende ad un numero finito

se, fissato un numero

grandissimo a piacere è possibile determinare in corrispondenza di esso un intorno completo di

contenuto nell’insieme di definizione della funzione.

Limite finito che tende ad un valore infinito

Limite finito per

che tende ad infinito viene definito come segue. Si dice che una funzione

ha limite finito (

) per

che tende ad infinito se, presa una quantità

piccola positiva è possibile determinare in corrispondenza di essa un intorno di + infinito o un intorno di – infinito contenuto nell’insieme di definizione della funzione tale che per ogni

di questo intorno si abbia :

Limite infinito che tende ad un valore infinito

Limite infinito per

che tende ad un numero infinito viene definito come segue. Si dice che una funzione

tende ad infinito per

che tende ad un numero finito

se, fissato un numero

grandissimo a piacere è possibile determinare in corrispondenza di esso un intorno completo di

contenuto nell’insieme di definizione della funzione.

Algebra dei limiti

Siano dati i seguenti limiti:

Il limite della somma tra le funzioni

e

sarà sarà:

Ovvero il limite della somma tra due funzioni sarà la somma dei singoli valori dei limiti calcolati.

Il limite della differenza tra le funzioni

e

sarà:

Ovvero il limite della differenza tra due funzioni sarà la differenza dei singoli valori dei limiti calcolati.

Il limite del quoziente tra le funzioni

e

sarà:

Ovvero il limite del quoziente tra due funzioni sarà il quoziente dei singoli valori dei limiti calcolati.

Il limite del prodotto tra le funzioni

e

sarà:

Ovvero il limite del prodotto tra due funzioni sarà il prodotto dei singoli valori dei limiti calcolati.

Il limite del prodotto tra la funzione

e una costante sarà:

Ovvero il limite del prodotto tra una funzione e una costante sarà il prodotto tra la costante e il limite calcolato.

Il limite della funzione

elevata ad una potenza generica sarà:

Ovvero il limite della funzione elevata ad una potenza generica sarà il valore del limite calcolato elevato alla potenza generica.

Teorema dell'unicità del limite

Se una funzione

ammette un limite per

che tende ad

tale limite è unico.
Questo teorema vale sempre.

Teorema della permanenza del segno

Se per

che tende ad

la funzione

ha per limite un numero finito diverso da

esiste un intorno di

tale che per ogni

la funzione assume valori dello stesso segno del limite.

Punti di discontinuità

Se una funzione non è continua in un punto

tale punto è detto di discontinuità, esistono punti di discontinuità di prima seconda e terza specie. Quelli di prima specie si hanno quando nel punto

il limite destro e sinistro esistono ma sono diversi. Quelli di seconda specie se nel punto

non esiste o non è finito uno dei 2 limiti destro o sinistro. Quelli di terza specie si ha quando il limite finito esiste ma non esiste

.