In questo appunto di matematica si trattano le equazioni irrazionali, le loro proprietà, l’insieme di esistenza delle soluzioni ed i metodi risolutivi, facendo alcuni esempi.
Indice
Equazioni irrazionali
Chiameremo irrazionali tutte quelle equazioni in cui l’incognita compare sotto il segno di radice di indice ennesimo.
La risoluzione di tali equazioni richiede una studio preliminare del loro campo di esistenza: ossia prima di applicare le usuali regole di calcolo si deve determinare l’insieme in cui tali soluzioni risultano accettabili.
Tale insieme dipende dall’indice della radice che contiene la variabile:
- se tale indice è pari, la quantità sotto radice dovrà essere necessariamente maggiore di zero, affinché esistano soluzioni reali;
- se l’indice della radice è dispari non sono necessarie imposizioni su segno della quantità contenuta sotto il segno di radice.
Soluzioni di equazioni irrazionali
Una equazione irrazionale, salvo casi particolari, si risolve elevando alla stessa potenza i suoi due membri.
Analogamente arriveremo a determinare la soluzione di una equazione irrazionale, elevando alla solita potenza entrambi i membri di una equazione equivalente alla data, scelta con precisi criteri.
Date le due equazioni
A(x) = B(x)
[/math]
e
[A(x)]^n = [B(x)]^n
[/math]
queste sono sempre equivalenti: tutte le soluzioni della prima equazione sono anche soluzioni della seconda, ma non sempre tutte le soluzioni della seconda soddisfano anche la prima equazione.
Si consideri il seguente esempio:
date le tre equazioni
x = 3
[/math]
x^2 = 3^2
[/math]
x^3 = 3^3
[/math]
la prima e la terza ammettono la stessa soluzione, x = 3; mentre la seconda ammette anche la soluzione x = -3.
In base a queste considerazioni si giunge ad enunciare il seguente Teorema:
se
n∈N_0
[/math]
, le seguenti equazioni
A(x) = B(x)
[/math]
e
[A(x)]^n = [B(x)]^n
[/math]
sono equivalenti se n è dispari.
Se il numero n è pari, la seconda equazione ammette come soluzioni, oltre a quelle della prima, anche e soltanto quelle dell’equazione
A(x) = -B(x).
[/math]
La dimostrazione è piuttosto banale. Supponiamo per esempio n = 2.
Siano date
A(x) = B(x)
[/math]
e
[
A(x)]^2 = [B(x)]^2
[/math]
si ha che
[A(x)]^2 - [B(x)]^2 = 0
[/math]
[A(x) - B(x)] [A(x) + B(x)] = 0
[/math]
da cui
[A(x) - B(x)] = 0
[/math]
[A(x) + B(x)] = 0
[/math]
ossia
A(x) = B(x)
[/math]
A(x) = -B(x).
[/math]
Il precedente teorema ci permette di escludere le soluzioni estranee dell’equazione A = -B, tramite una disequazione che impone che A e B non abbiano segno opposto.
Chiariamo questo procedimento tramite un esempio.
Siano date le equazioni:
\sqrt[n]{x - 1} = x – 3
[/math]
e
x – 1 = (x – 3)^2
[/math]
si vuole stabilire quali soluzioni della seconda sono soluzioni anche della prima.
Le soluzioni della seconda dalla forma normale sono:
x^2 - 7x + 10 = 0
[/math]
x_1 = 2
[/math]
x_2 = 5.
[/math]
Per quanto riguarda le soluzioni della prima equazione si deve avere
x - 3 \ge 0
[/math]
la quale esprime l’imposizione che i due membri dell’equazione abbiano segni non opposti.
Infatti, le condizioni di esistenza del primo membro richiedono che
x – 1 \ge 0
[/math]
poiché un quadrato è sempre un numero non negativo.
Quindi poiché il primo membro della prima equazione è un numero positivo o nullo, per essere certi che i due membri abbiano segni non opposti, basta imporre che anche il secondo membro, ossia
x – 3
[/math]
sia positivo o nullo.
In conclusione essendo
x - 3 \ge 0
[/math]
ossia
x \ge 3
[/math]
la soluzione
x_1 = 2
[/math]
della seconda equazione deve essere scartata.
In generale valgono le seguenti equivalenze:
data
\sqrt[n]{f(x)} = g(x)
[/math]
- se n è pari si ha che [math]
f(x) = [g(x)]^n
[/math]con
[math]
g(x) \ge 0
[/math] - se n è dispari[math]
f(x) = [g(x)]^n
[/math]in questo caso non ci interessa il fatto che f(x) sia non negativo.
Se ne conclude che:
in ogni equazione irrazionale assumeremo come radicali aritmetici quelli di indice pari e come algebrici quelli di indice dispari.
Risoluzione delle equazioni irrazionali
Le equazioni irrazionali possono presentarsi in varie forme e la loro risoluzione dipende da quale otteniamo dopo vari calcoli di semplificazione.
Si possono avere le seguenti forme:
- [math]
\sqrt[n]{f(x)} ± g(x) = 0
[/math] - [math]
\sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[m]{g(x)}
[/math] - [math]
\sqrt[2]{f(x)} ± \sqrt[2]{g(x)} ± h(x) = 0
[/math] - [math]
\sqrt[2]{f(x)} ± \sqrt[2]{g(x)} ± \sqrt[2]{h(x)} = 0
[/math] - [math]
\sqrt[2]{f(x)} ± \sqrt[2]{g(x)} ± \sqrt[2]{h(x)} ± k(x) = 0
[/math] - [math]
\sqrt[2]{f(x)} ± \sqrt[2]{g(x)} ± \sqrt[2]{h(x)} ± \sqrt[2]{k(x)} = 0
[/math] - [math]
\sqrt[2]{f(x) ± \sqrt[2]{g(x)}} ± h(x) = 0
[/math] - [math]
\sqrt[3]{f(x)} + \sqrt[3]{g(x)} = \sqrt[3]{h(x)}
[/math] - [math]
\sqrt[3]{f(x)} - \sqrt[3]{g(x)} = ± \sqrt[3]{h(x)}
[/math] - [math]
\sqrt[3]{f(x)} ± \sqrt[3]{g(x)} = \sqrt[3]{h(x)}
[/math] - [math]
\sqrt[n]{f(x) ± \sqrt[m]{g(x)}} = h(x)
[/math]
Nel primo caso presentato , per la risoluzione dell’equazione irrazionale, si deve isolare il radicale in un membro per poi elevare i due membri dell’equazione alla ennesima potenza e risolvere l’equazione con i classici metodi di calcolo.
Nel secondo caso si eliminano le radici elevando entrambi i membri dell’equazione irrazionale all’indice comune, ossia al minimo comune multiplo degli indici.
Si noti che equazioni irrazionali del tipo:
\sqrt[n]{f(x)} = - \sqrt[n]{g(x)}
[/math]
con n indice pari
sono generalmente impossibili perché i due membri hanno segno contrario. L’unica eccezione a questa regola si ha nel caso in cui esistano valori di x per cui si abbia contemporaneamente f(x) = 0 e g(x) = 0.
Nel terzo caso, fino al quinto, le radici contenenti l’incognita sono tutte quadratiche ed i radicali contenenti l’incognita vanno disposti nei due membri in modo che i successivi elevamenti al quadrato diano luogo al minor numero possibile di doppi prodotti irrazionali.
Negli ultimi quattro casi figurano radicali non quadratici contenenti l’incognita. In questo caso il procedimento risolutivo consiste nell’elevamento al cubo successivi e nel verificare che le soluzioni trovate non risultino estranee per l’equazione di partenza.
Esempi di risoluzione
Esempio 1:
sia data
\sqrt[2]{x - 1} - 2 = 0
[/math]
\sqrt[2]{x - 1} = 2
[/math]
si impongono le condizioni di esistenza
x – 1 \ge 0
[/math]
x \ge 1
[/math]
per cui le soluzioni accettabili dovranno essere maggiori o uguali ad uno.
Elevando entrambi i membri al quadrato si ottiene che:
x - 1 = 4
[/math]
x = 1 + 4
[/math]
x = 5
[/math]
Esempio 2:
sia data
\sqrt[4]{x} - \sqrt[2]{2 - x} = 0
[/math]
\sqrt[4]{x} = \sqrt[2]{2 - x}
[/math]
Le condizioni di esistenza impongono che siano soddisfatte contemporaneamente le due condizioni:
x \ge 0
[/math]
2 – x \ge 0
[/math]
-x \ge -2
[/math]
x \le 2
[/math]
quindi
0 \le x \le 2
[/math]
ossia le soluzioni devono ricadere nell’intervallo di numeri reali compresi fra 0 e 2.
L’indice comune fra le due radici è 4, per cui elevando alla quarta entrambi i membri si ottiene che:
(\sqrt[4]{x})^4 = (\sqrt[2]{2 - x})^4
[/math]
ossia
x = (x -2)^2
[/math]
x = x^2 -4x + 4
[/math]
x^2 -5x + 4 = 0
[/math]
risolvendo l’equazione di secondo grado si ottengono le soluzioni.
Δ = 25 – 16 = 9
x_{1,2} = \frac{5 ± \sqrt[2]{9}}{2}
[/math]
x_ 1 = 1
[/math]
x_2 = 4
[/math]
delle due soluzioni la seconda non risulta accettabile.
Esempio 3:
sia data
\sqrt[2]{x + 4} + \sqrt[2]{x - 1} - 5 = 0
[/math]
\sqrt[2]{x + 4} + \sqrt[2]{x - 1} = 5
[/math]
Le condizioni di esistenza richiedono che siano soddisfatte contemporaneamente le due relazioni:
x + 4 \ge 0
[/math]
x – 1 \ge 0
[/math]
ossia
x \ge -4
[/math]
x \ge 1
[/math]
quindi le soluzioni comuni a queste due disequazioni sono rappresentate dall’intervallo
x \ge 1.
[/math]
Da un primo elevamento al quadrato si ottiene
x + 4 + x -1 + 2 \sqrt[2]{(x + 4)(x – 1)} = 25
[/math]
da cui
2 \sqrt[2]{(x + 4)(x – 1)} = 22 – 2x
[/math]
dividendo ambo i membri per due si ottiene:
\sqrt[2]{(x + 4)(x – 1)} = 11 – x
[/math]
ed elevando ancora al quadrato:
(x + 4)(x – 1) = (11 – x)^2
[/math]
x^2 + 3x – 4 = 121 + x^2 - 22x
[/math]
25x = 125
[/math]
x = 5
[/math]
Soluzione accettabile poiché maggiore di 1.
Esempio 4:
sia data
\sqrt[3]{2x + 14} + \sqrt[3]{x + 6} = \sqrt[3]{2}
[/math]
in questo caso non sono richieste condizioni di esistenza poiché l’indice di ciascuna radice è dispari.
Si elevano al cubo entrambi i membri
2x + 14 + x + 6 + 3\sqrt[3]{(2x + 14)(x + 6)}(\sqrt[3]{2x + 14} + \sqrt[3]{x + 6}) = 2
[/math]
3x + 18 = -3(\sqrt[3]{(2x + 14)(x + 6)})( \sqrt[3]{2})
[/math]
x + 6 = (\sqrt[3]{(2x + 14)(x + 6)})( \sqrt[3]{2})
[/math]
elevando ancora al cubo, si ottiene
(x + 6)^3 = -2(2x + 14)(x + 6)
[/math]
(x + 6)^3 + 2(2x + 14)(x + 6) = 0
[/math]
(x + 6)(x^2 + 16x +64) = 0
[/math]
(x + 6)(x + 8)^2 = 0
[/math]
da cui
x = -6
[/math]
x = -8
[/math]
Verifichiamo se le due soluzioni sono accettabili:
Se x = -6
[/math]
si ha che
\sqrt[3]{-12 + 14} + \sqrt[3]{-6 + 6} = \sqrt[3]{2}
[/math]
\sqrt[3]{2} + 0 = \sqrt[3]{2}
[/math]
\sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{2}
[/math]
per cui la radice è accettabile.
Se
x = -8
[/math]
Si ha che
\sqrt[3]{-16 + 14} + \sqrt[3]{-8 + 6} = \sqrt[3]{2}
[/math]
\sqrt[3]{-2} + \sqrt[3]{-2} ≠ \sqrt[3]{2}
[/math]
per ulteriori approfondimenti sulle equazioni irrazionali vedi anche qua
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