Radicali: condizioni di esistenza, proprietà e operazioni

In questo appunto analizzeremo la definizione di radicale, studiandone le condizioni di esistenza, ossia l'intervallo di valori per il quale è possibile definire (o calcolare) un certo radicale. Vedremo inoltre le operazioni che si possono effettuare tra i vari radicali (limitatamente a determinate condizioni) ed alcune interessanti proprietà grazie alle quali possiamo scrivere radicali diversamente (e quindi operare in maniera più veloce).

Radicale: definizione

Sia

un numero reale e

un intero positivo.

Allora esiste un unico numero reale

tale che

. Tale numero è chiamato radice n-esima o radicale n-esimo di

Condizioni di esistenza

Diremo che

è l'indice del nostro radicale. In base all'indice

ci sono varie condizioni che "limitano" l'esistenza di un radicale. In particolare, se

è dispari non si hanno limitazioni, se

è pari le cose cambiano. Ricordando che il quadrato non può essere negativo, se l'indice è pari bisogna fare attenzione al segno del radicando (ossia il numero che viene messo sotto radice). In sintesi:

• se
  [math]n[/math]
  è pari allora
  [math]a \ge 0[/math]
• se
  [math]n[/math]
  è dispari allora il radicale è definito
  [math](\forall a \in \mathbb{R})[/math]

Radicali simili

Diciamo che due radicali sono similise hanno stesso indice e stesso numero sotto radice, ad esempio:

sono simili. Tuttavia questa definizione è da prendere per buona nel momento in cui è stato semplificato il più possibile. Ad esempio,

e

sembrano non essere due radicali simili, ma possono essere resi tali con una serie di passaggi che verranno meglio approfonditi nei paragrafi successivi. In questo caso particolare, si può notare che

, quindi il secondo radicale può essere scritto come:

. Ora

sono chiaramente simili, dopo aver effettuato una serie di passaggi finalizzati a renderli tali.

Operazioni tra radicali: somma e differenza

La somma e la differenza tra radicali possono essere effettuate solamente tra radicali simili. In particolare, per dei radicali simili, è sufficiente sommare tra di loro i coefficienti che moltiplicano il numero sotto radice, come se stessimo effettuando un raccoglimento a fattor comune.
Ad esempio

, ma se consideriamo l'esempio

allora c'è poco da fare dal momento che i radicali non simili tra loro.

Operazioni tra radicali: moltiplicazione e divisione

Indipendentemente dall’essere simili o meno, due radicali possono essere moltiplicati (o divisi) se hanno lo stesso indice. Si tratta di moltiplicare tra di loro (o dividere) i numeri sotto radice. Vediamo qualche esempio:

Se determinati radicali non hanno lo stesso indice, non è detto che non si possano assolutamente moltiplicare o dividere. Basta infatti “trasformare” i radicali in modo tale che abbiano lo stesso indice. Ad esempio, supponiamo di volere calcolare il prodotto

, basta cambiare l’indice della radice, tenendo conto che

, possiamo scrivere il prodotto iniziale come

.
Tale proprietà verrà spiegata meglio nei paragrafi successivi.

Portare dentro e fuori radice

Portare dentro e fuori radice vuol dire “semplificare” il numero che sta dentro la radice, trasformandolo in un coefficiente che moltiplica tale radicale. La formula generale del “portare dentro e fuori radice” è:

Ad esempio, nel radicale

, siccome

, posso portare il

fuori dalla radice e scrivere

. Il radicale così ottenuto è

.
Il procedimento inverso è detto portare dentro la radice.

Proprietà principali dei radicali

Di seguito ecco un elenco delle proprietà principali dei radicali, con relativa spiegazione:

• [math]\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[ns]{a^{ms}}[/math]
  , ossia moltiplicando l’indice di un radicale per una costante e moltiplicando l’esponente del radicando per tale costante, si ottiene un radicale equivalente a quello di partenza. Ad esempio noi potremo dire che
  [math]\sqrt{12}{7} = \sqrt{24}{49}[/math]
  , dove il
  [math]49[/math]
  viene fuori dall’elevamento al quadrato del radicando
  [math]2[/math]
  ;
• [math]\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}[/math]
  . Questa proprietà è molto importante perché permette di trasformare i radicali in potenze con esponente reale. Ad esempio potremo dire che
  [math] \sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}} [/math]
  ;
• [math]\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[nm]{a}[/math]
  . Nella radice di radice per scrivere tutto sotto forma di un unico radicale è sufficiente moltiplicare gli indici dei radicali tra loro, ottenendo così un unico radicale. Ad esempio
  [math] \sqrt[4]{\sqrt[3]{6}} = \sqrt[12]{6} [/math]
  , è molto simile ad una nota proprietà delle potenze (ossia la potenza di potenza) ;
• [math]{(\sqrt[n]{a})}^m=\sqrt[n]{a^m}[/math]
  . Quando un radicale è elevato ad un certo esponente, tale esponente può essere direttamente inserito nel radicando. Ad esempio
  [math](\sqrt{5})^3=\sqrt{5^3}[/math]
  .

Per ulteriori approfondimenti sulle potenze con esponente reale, vedi anche qua e per ulteriori approfondimenti sulle proprietà delle potenze vedi anche qua