In questo appunto analizzeremo la definizione di radicale, studiandone le condizioni di esistenza, ossia l'intervallo di valori per il quale è possibile definire (o calcolare) un certo radicale. Vedremo inoltre le operazioni che si possono effettuare tra i vari radicali (limitatamente a determinate condizioni) ed alcune interessanti proprietà grazie alle quali possiamo scrivere radicali diversamente (e quindi operare in maniera più veloce).

Indice
Radicale: definizione
SiaVale quindi la relazione:
Condizioni di esistenza
Diremo che- se [math]n[/math]è pari allora[math]a \ge 0[/math]
- se [math]n[/math]è dispari allora il radicale è definito[math](\forall a \in \mathbb{R})[/math]
Radicali simili
Diciamo che due radicali sono similise hanno stesso indice e stesso numero sotto radice, ad esempio:
Operazioni tra radicali: somma e differenza
La somma e la differenza tra radicali possono essere effettuate solamente tra radicali simili. In particolare, per dei radicali simili, è sufficiente sommare tra di loro i coefficienti che moltiplicano il numero sotto radice, come se stessimo effettuando un raccoglimento a fattor comune.Ad esempio
Operazioni tra radicali: moltiplicazione e divisione
Indipendentemente dall’essere simili o meno, due radicali possono essere moltiplicati (o divisi) se hanno lo stesso indice. Si tratta di moltiplicare tra di loro (o dividere) i numeri sotto radice. Vediamo qualche esempio:
Se determinati radicali non hanno lo stesso indice, non è detto che non si possano assolutamente moltiplicare o dividere. Basta infatti “trasformare” i radicali in modo tale che abbiano lo stesso indice. Ad esempio, supponiamo di volere calcolare il prodotto
Tale proprietà verrà spiegata meglio nei paragrafi successivi.
Portare dentro e fuori radice
Portare dentro e fuori radice vuol dire “semplificare” il numero che sta dentro la radice, trasformandolo in un coefficiente che moltiplica tale radicale. La formula generale del “portare dentro e fuori radice” è:Il procedimento inverso è detto portare dentro la radice.
Proprietà principali dei radicali
Di seguito ecco un elenco delle proprietà principali dei radicali, con relativa spiegazione:-
[math]\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[ns]{a^{ms}}[/math], ossia moltiplicando l’indice di un radicale per una costante e moltiplicando l’esponente del radicando per tale costante, si ottiene un radicale equivalente a quello di partenza. Ad esempio noi potremo dire che[math]\sqrt{12}{7} = \sqrt{24}{49}[/math], dove il[math]49[/math]viene fuori dall’elevamento al quadrato del radicando[math]2[/math];
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[math]\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}[/math]. Questa proprietà è molto importante perché permette di trasformare i radicali in potenze con esponente reale. Ad esempio potremo dire che[math] \sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}} [/math];
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[math]\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[nm]{a}[/math]. Nella radice di radice per scrivere tutto sotto forma di un unico radicale è sufficiente moltiplicare gli indici dei radicali tra loro, ottenendo così un unico radicale. Ad esempio[math] \sqrt[4]{\sqrt[3]{6}} = \sqrt[12]{6} [/math], è molto simile ad una nota proprietà delle potenze (ossia la potenza di potenza) ;
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[math]{(\sqrt[n]{a})}^m=\sqrt[n]{a^m}[/math]. Quando un radicale è elevato ad un certo esponente, tale esponente può essere direttamente inserito nel radicando. Ad esempio[math](\sqrt{5})^3=\sqrt{5^3}[/math].
Per ulteriori approfondimenti sulle potenze con esponente reale, vedi anche qua e per ulteriori approfondimenti sulle proprietà delle potenze vedi anche qua