Equazioni di primo grado: definizione e teoremi principali

In questo appunto verranno analizzate le equazioni di primo grado.
In particolare verranno analizzati tutte le regole e teoremi fondamentali per la risoluzione delle equazioni e verranno svolti anche dei brevi esempi applicativi per capire la teoria.

Che cos’è un’equazione ?

L’equazione è un’uguaglianza tra due polinomi o meglio tra espressioni letterali, ad esempio:

Con

si indica l’incognita , cioè il valore da trovare:

Il valore trovato prende il nome di soluzione o radice dell’equazione.

Grado di un’equazione

Il grado di un monomio è la somma di tutti gli esponenti che costituiscono la parte letterale, quindi tutti gli esponenti della nostra

.
Riconoscere il grado di un'equazione prima di svolgerla è fondamentale, poiché permette di individuare il numero di soluzioni che avremo.

Che cos’è un’equazione di primo grado ?

La forma normale di un’equazione di primo grado è la seguente:

Dove:

• [math] a [/math]
  è il coefficiente del termine di primo grado;
• [math] b [/math]
  è il termine noto.

La soluzione dipende quindi dai valori delle costanti

e

:

• Se
  [math] a =0 [/math]
  e
  [math] b \neq 0 [/math]
  l’equazione non ha soluzione e si dice impossibile ;
• Se
  [math] a=b=0 [/math]
  l’equazione è soddisfatta per qualsiasi valore della variabile e si dice indeterminata;
• Se
  [math] a \neq 0 [/math]
  l’equazione di dice determinata ed ha una sola soluzione:
  
  [math] x = - \frac {b}{a} [/math]

Regole principali per la risoluzione delle equazioni

Alcune regole importantissime per la risoluzione delle equazioni sono:

• Primo principio di equivalenza: data un’equazione, aggiungendo a entrambi i membri uno stesso numero ad una stesa espressione contenente l’incognita si ottiene un’equazione equivalente.
  Ad esempio:
  
  [math] 4x = 3+ 2x [/math]
  [math]4x +x =3 +2x +x[/math]
  Quello che abbiamo ottenuto è un’equazione equivalente.
• Regola del trasporto : data un’equazione, trasportando un termine da un membro all’altro e cambiandolo di segno si ottiene un’ equazione equivalente.
  Ad esempio:
  
  [math]4x +x = +3 + 2x[/math]
  [math] +x -3 = -4x+ 2x[/math]
  Quello che abbiamo ottenuto è un’equazione equivalente.
• Regola di cancellazione :data un’equazione, termini uguali presenti in entrambi i membri possono essere cancellati, ottenendo un’ equazione equivalente .
  Ad esempio:
  
  [math]2x +x = +3 + 2x [/math]
  [math] +x = +3 [/math]
  Quello che abbiamo ottenuto è un’equazione equivalente.
• Secondo principio di equivalenza : data un’equazione, moltiplicando o dividendo ambo i membri per una numero diverso da zero si ottiene un’ equazione equivalente.
  Ad esempio:
  
  [math]2x = 4[/math]
  [math] \frac {2x}{2} = \frac {4}{2}[/math]
  [math] x = 2 [/math]
  Quello che abbiamo ottenuto è un’equazione equivalente.
• Regola della divisione per un fattore comune diverso da zero : data un’equazione in cui tutti i termini hanno un fattore comune diverso da zero, dividendo per tale numero si ottiene un’ equazione equivalente .
  Ad esempio:
  
  [math] 8x +6 = 2x +4[/math]
  [math] \frac {8x}{2} + \frac {6}{2} = \frac {2x}{2} + \frac {4}{2}[/math]
  [math] 4x +3 = x +2[/math]
  Quello che abbiamo ottenuto è un’equazione equivalente.
  
• Regola del cambiamento di segno: data un’equazione, cambiando segno a tutti i termini di entrambi i membri si ottiene un’ equazione equivalente .
  Ad esempio:
  
  [math] 8x +6 = 2x +4[/math]
  [math] - 8x - 6 = -2x -4[/math]
  Quello che abbiamo ottenuto è un’equazione equivalente.
  
• Teorema fondamentale dell’algebra: ogni equazione algebrica di grado
  [math] n[/math]
  ammette
  [math]n[/math]
  soluzioni nell’insieme dei numeri complessi.
  Nel nostro caso, se la soluzione esiste, è unica.

Per ulteriori approfondimenti sui principi di equivalenza vedi anche qua.

Esempi applicativi

Facciamo alcuni esempi pratici:

• Esempio 1:
  
  [math] 5x =10 [/math]
  [math] x =2 [/math]
• Esempio 2:
  
  [math] 3x =6+3 [/math]
  [math] 3x =9 [/math]
  [math] x = 3 [/math]
• Esempio 3:
  
  [math] 3x = \frac {6}{3} [/math]
  [math] x = \frac {2}{3} [/math]
• Esempio 4:
  
  [math] 7x = \frac {28}{4} [/math]
  [math] x = \frac {7}{7} [/math]
  [math] x = 1 [/math]
• Esempio 5:
  
  [math] \frac {x}{2} = 4 [/math]
  [math] x = 8 [/math]
• Esempio 6:
  
  [math] \frac {x}{3}= -6 [/math]
  [math] x = -18 [/math]
• Esempio 7:
  
  [math] \frac {x}{3}= \frac {18}{6} [/math]
  [math] x = 9 [/math]
• Esempio 8:
  
  [math] \frac {4x}{2}= \frac {6}{3} [/math]
  [math] x = 1 [/math]
• Esempio 9:
  
  [math] 2x - 3= \frac {18}{6} [/math]
  [math] x = 3[/math]
• Esempio 10:
  
  [math]2x +\frac{1}{2}= \frac{18}{6} [/math]
  [math]2x = 3 -\frac{1} {2} [/math]
  [math]2x =\frac{5}{2}[/math]
  [math]x =\frac{5}{4}[/math]