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Equazioni diofantee di primo grado a due incognite - Definizione e strategia risolutiva


Le equazioni diofantee sono delle equazioni del tipo
[math]ax + by = n[/math]
. Un'equazione diofantea ha un numero infinito di soluzioni reali, ma un numero finito di soluzioni nell'insieme dei numeri interi.
Un esempio di equazione diofantea è
[math]10x + 6y = 76[/math]
. Proviamo a risolverla.
Metodo di risoluzione
Per risolvere un'equazione diofantea, possiamo servirci di un Teorema chiamato Teorema di Bézout, l'enunciato di questo Teorema afferma che dati due numeri interi non nulli (a, b) esistono anche degli interi (h, k) tali che l'espressione
[math]ah + bk = d[/math]
, dove d = MCD (a, b).
Determiniamo le soluzioni intere positive di questa equazione diofantea, già accennata in precedenza.
[math]10x + 6y = 76[/math]
Possiamo "semplificare", secondo il 2° principio di equivalenza, questa equazione, raccogliendo a fattor comune.
[math]2(5x + 3y) = 2 * 38[/math]
, dividiamo per due entrambi i membri:
[math]5x + 3y = 38[/math]
Applichiamo il Teorema di Bézout, quindi esisteranno due interi (m, n) tali che:
[math]5m + 3n = 1[/math]
Per risolvere questa equazione, è necessario trovare un intero m tale che
[math]5m ≡ 1 (mod 3)[/math]
, da cui si nota subito che m = 2.
Quindi l'equazione diventa
[math]10 + 3n = 1[/math]
, da cui si ricava che
[math]n = -3[/math]
Per trovare le soluzioni di
[math]5x + 3y = 38[/math]
, basta moltiplicare i valori di m ed n per 38.
Avremo quindi:
x = 76
y = -114
Ora bisogna vedere per quali valori di h, le variabili (x, y) sono entrambi positivi. Consideriamo le seguenti disequazioni.
x = 76 - 3h > 0
y = -114 + 5h > 0
Ne segue che:
[math]h ≤ 25[/math]
[math]x ≥ 23[/math]
Poniamo h = 23:


[math]x = 76 - 23 * 3 = 7[/math]

[math]y = -114 + 5 * 23 = 1[/math]

Poniamo h = 24:


[math]x = 76 - 24 * 3 = 4[/math]

[math]y = -114 + 5 * 24 = 6[/math]

Poniamo h = 25:


[math]x = 76 - 25 * 3 = 1[/math]

[math]y = -114 + 5 * 25 = 11[/math]

Le soluzioni intere (x, y) sono quindi 3: (7, 1) (4, 6) (1, 11)
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