Come svolgere le equazioni di primo grado

In quest'appunto troverai una guida completa sulla risoluzione delle equazioni di primo grado, con accenni a concetti teorici come il significato di equazione, i gradi di un'equazione e i principi di equivalenza.

Cosa sono le equazioni e le radici

Si chiama equazione un'uguaglianza tra due espressioni letterali che risulta verificata soltanto attribuendo alcuni specifici valori alle lettere, le quali prendono il nome di incognite.

Nel caso di

, ad esempio, accade che:

• [math]x=0\ \Rightarrow 2 \cdot 0 - 1 = 0 + 1? [/math]
  NO!
• [math]x=1\ \Rightarrow 2 \cdot 1 - 1 = 1 + 1? [/math]
  NO!
• [math]x=2\ \Rightarrow 2 \cdot 2 - 1 = 2 + 1? [/math]
  SI!

L'uguaglianza è quindi verificata solo con

, infatti .
I valori per cui un'equazione risulta verificata si chiamano soluzioni o radici dell'equazione.

Cos'è il grado di un'equazione e perché é importante

Si definisce grado di un'equazione il massimo dei gradi dei monomi che vi figurano. Ricordiamo che il grado di un monomio è la somma di tutti gli esponenti che costituiscono la parte letterale.

Riconoscere il grado di un'equazione prima di svolgerla è fondamentale, poiché permette di individuare il numero di soluzioni rintracciabili. Un 'equazione ha al più tante soluzioni quant'è il suo grado (parlando di soluzioni reali). Ciò non vale nel caso di equazioni indeterminate o impossibili: per la prima vi sono infinite soluzioni ammissibili, per la seconda non esiste alcuna radice.

Come svolgere le equazioni correttamente

Non tutte le equazioni si svolgono allo stesso modo. Come abbiamo già anticipato, il primo step da compiere per risolverle è definirne il grado.

In ambito scolastico, è comune risolvere equazioni di primo e di secondo grado.
Le equazioni di secondo grado si presentano nella forma

dove , e sono dei coefficienti.

Se tutti i coefficienti sono diversi da 0, l'equazione di secondo grado si dice completa. In questo caso, per calcolare il valore da attribuire a

affinché l'uguaglianza sia verificata, bisogna utilizzare questa formula , dove la quantità prende il nome di discriminante e può essere calcolata come .

Il discriminante è importante perché, a seconda del suo valore, le soluzioni possono essere reali e distinte (se

), reali e coincidenti (se ), complesse coniugate ().

Le equazioni incomplete, invece, si dividono in:

• equazioni pure se
  [math]b=0[/math]
  . In questo caso, l'equazione diventa
  [math]ax^2+c=0[/math]
  e le soluzioni sono
  [math]x=\pm\sqrt{\frac{-c}{a}}[/math]
  , verificata nell'insieme dei reali solo se
  [math]c>0[/math]
• equazioni spurie, se
  [math]c=0[/math]
  . In questo caso, l'equazione diventa
  [math]ax^2+bx=0[/math]
  , riarrangiabile come
  [math]x(ax+b)=0[/math]
  . Per cui le soluzioni sono
  [math]x=0[/math]
  e
  [math]x=-frac{b}{a}[/math]
• equazioni monomie, in cui
  [math]c=0[/math]
  e
  [math]b=0[/math]
  e la soluzione è
  [math]x=0[/math]

Nel caso delle equazioni di primo grado, trovare una soluzione è più semplice.

I principi di equivalenza: gli enunciati

I principi di equivalenza delle equazioni sono fondamentali per risolvere correttamente un'equazione, in quanto possono essere sfruttati per isolare l'incognita e trovare la soluzione dell'equazione.

Enunciato del primo principio di equivalenza

Sommando algebricamente una stessa quantità, contenente o meno l'incognita, ai due membri di un'equazione si ottiene un'equazione equivalente (dalla stessa radice) a quella di partenza.

Per esempio:

è un'equazione equivalente di

Enunciato del secondo principio di equivalenza

Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di un'equazione per una stessa quantità numerica diversa da 0 si ottiene una nuova equazione equivalente a quella di partenza.

Come svolgere un'equazione lineare

Per svolgere un'equazione lineare bisogna utilizzare i principi di equivalenza in modo da isolare in un solo membro l'incognita. In primis, verrà applicato il primo principio di equivalenza, affinché tutte le quantità con parte letterale possano essere relegate a un membro.

Dopo aver effettuato le relative operazioni, è possibile ottenere il valore della soluzione applicando il secondo principio di equivalenza. Il modo migliore per comprendere il procedimento è presentare un esempio.

Supponiamo di avere l'equazione

. Il primo passaggio da compiere è isolare le quantità con l'incognita al primo membro. Per fare ciò, applico il primo principio di equivalenza e sottraggo a entrambi i membri -4-3, in modo da avere:
.

A questo punto sommiamo le quantità simili e quindi

. Per isolare la e ottenere la soluzione, divido entrambi i membri per 8. Per questo motivo si ha che , da cui . L'equazione è stata risolta.

Per ulteriori approfondimenti sulle equazioni vedi anche qua