Risolvere un'equazione significa trovare il valore dell'incognita (convenzionalmente x) tale che l'uguaglianza proposta risulti un'identita'.
Nell'equazione
Come per i polinomi, il grado di un'equazione e' stabilito dal grado massimo con cui si presenta l'incognita.
Le equazioni di primo grado hanno, al massimo, una sola soluzione.
Primo principio di equivalenza
Il primo principio di equivalenza enuncia:
"sommando e sottraendo ad un'uguaglianza la stessa quantita', l'equazione rimane equivalente a quella data"
Tale principio si traduce, nella pratica, con la piu' banale espressione del "portare i membri da una parte all'altra dell'equazione"
ESEMPIO
Per il primo principio di equivalenza posso sottrarre 5 ad entrambi i membri
Nella pratica, una volta acquisita la validita' del principio, si "portera'"il 5 dall'altra parte dell'uguaglianza, cambiandolo di segno
Secondo principio di equivalenza
Il secondo principio di equivalenza enuncia:
"moltiplicando o dividendo entrambi i membri di un'uguaglianza per la stessa quantita', l'equazione rimane equivalente a quella data"
ESEMPIO
Se l'equazione viene svolta correttamente, il valore soluzione, sostituito all'incognita, portera' ad un'identita'
Nell'esempio:
Soluzione:
Verifica:
ESEMPI DI RISOLUZIONE DI EQUAZIONI DI PRIMO GRADO:
Sommiamo, da ambo i membri, i monomi simili
Applichiamo il primo principio di equivalenza: nelle equazioni di primo grado, conviene sommare/sottrarre da ambo i membri i valori in modo che a sinistra rimangano solo i termini con le incognite, a destra solo i termini noti.
Eseguiamo le somme tra monomi simili (se abbiamo operato correttamente a sinistra non avremo piu' termini noti e a destra non avremo piu' incognite)
Applichiamo il secondo principio di equivalenza, in modo che la x non abbia piu' coefficiente.
Divideremo entrambi i membri per -10
Semplifichiamo
ESEMPIO
Riscriviamo l'equazione con lo stesso comune denominatore (che e' 10)
Sommiamo i monomi simili
Applichiamo il primo principio di equivalenza (ovvero, banalmente, "portiamo" i numeri a destra cambiati di segno (e le incognite a sinistra, ma in questo caso non ci sono)
Sommiamo i numeri a destra
Moltiplichiamo ambo i membri per il reciproco del coefficiente di x (ovvero
e otterremo
suggerimento
Una volta calcolato il minimo comune denominatore da ambo le parti, possiamo preventivamente applicare il secondo principio di equivalenza, al fine di eliminare i denominatori.
Nell'esempio, una volta calcolato il minimo comune denominatore:
Dal momento che analogamente possiamo riscrivere il risultato ottenuto come:
Possiamo gia' moltiplicare ambo i membri per 10, ottenendo
e pertanto, semplificando
in questo modo eliminiamo il denominatore, rendendo agevoli e piu' veloci i passaggi successivi
Otterremo dunque
(ad ulteriore conferma che i metodi sono del tutto analoghi)
Equazioni indeterminate e impossibili
Possono verificarsi alcuni casi in cui le equazioni:
- non hanno soluzione (e allora sono dette impossibili)
- sono sempre verificate, a prescindere dal valore di x (e allora sono dette indeterminate)
ESEMPIO:
"Portiamo" a sinistra le incognite e a destra i numeri
Eseguiamo i calcoli
Cio' che e' rimasto e', ovviamente, un non-senso, dal momento che 0 non e' uguale a -5. L'equazione proposta e' impossibile.
Calcoliamo
da cui
L'equazione e' indeterminata.
Le equazioni lineari indeterminate/impossibili hanno la caratteristica comune per la quale l'incognita, alla fine dei conti, scompare.
Equazioni con parte letterale
All'interno di un'equazione puo' verificarsi la presenza di monomi.
Per convenzione, le lettere x,y e z assumono, in un'equazione, il ruolo di variabili (o incognite) mentre le altre lettere dell'alfabeto (preferibilmente a,b,c...) assumono il valore di costanti (ovvero devono essere trattate come valori numerici).
Nel caso, dunque, ci si imbattesse in un'equazione in cui compaiono sia la x che altri monomi, questi ulteriori monomi dovranno essere trattati come numeri (e quindi, ad esempio, "portati a destra" nell'applicazione del primo principio di equivalenza).
ESEMPIO
Riscriviamo i valori contenenti l'incognita a sinistra, (con il segno opportunamente calcolato) e tutto il resto a destra
Sommiamo i monomi simili
Dividiamo ambo i membri per il coefficiente di x
Raccogliamo a fattore comune al secondo membro e semplifichiamo
ESEMPIO
Primo principio di equivalenza:
Raccogliamo la x al primo membro
Secondo principio di equivalenza: dividiamo per il coefficiente di x
E quindi
Attenzione!!
Dal momento che al denominatore della soluzione appare un monomio, dobbiamo prestare particolare attenzione al caso in cui questo denominatore sia = 0.
Infatti se
Quindi dovremo porre che
Tale limitazione si risolve come fosse un' equazione di primo grado con incognita "a" e dunque
quando a assume il valore di cui sopra, ci troviamo di fronte ad un'equazione particolare. Infatti nell'esempio, avevamo:
In linea generale, se si presenta un'equazione di primo grado con presenza di uno o piu' parametri, avremo due casi:
ESEMPIO:
supponiamo di aver risolto l'equazione e di trovarci come penultimo passaggio il seguente:
Allora risolveremo
e porremo
Per il valore escluso, l'equazione diverra' INDETERMINATA
(infatti per a=-b/2 avremo 0x=0 che e' un'identita')
Mentre avra' una soluzione per tutti gli altri valori del parametro.
Se invece la soluzione non e' x=0, allora, come nel caso dell'esempio precedente, l'equazione, per il valore del parametro che abbiamo escluso, sara' impossibile, mentre avra' una soluzione per tutti gli altri valori del parametro.
Equazioni fratte
Quando l'incognita compare anche al denominatore si parla di equazioni fratte.
Il metodo di risoluzione di tali equazioni e' del tutto analogo alla soluzione delle equazioni di primo grado.
L'unica particolarita' e' che, dal momento che l'incognita compare anche al denominatore, dovra' essere posta particolare attenzione al fatto che la soluzione dell'equazione potrebbe rendere nullo il denominatore, perdendo pertanto ogni significato. Non e' accettabile infatti alcun valore che renda nullo il denominatore, dal momento che e' impossibile dividere per zero (e pertanto una frazione con il denominatore nullo non ha alcun significato).
Per risolvere un'equazione fratta, quindi, dovremo, una volta calcolato il denominatore comune, applicare il secondo principio di equivalenza MA SOLO DOPO AVER DISCUSSO LE CONDIZIONI DI ESISTENZA del denominatore.
ESEMPIO
Calcoliamo il minimo comune multiplo: dal momento che i denominatori non sono scomponibili, questo sara' semplicemente il prodotto dei due denominatori
A questo punto applichiamo il secondo principio di equivalenza, moltiplicando ambo i membri per il denominatore comune.
Dovremo preventivamente, pero', escludere i valori che annullano il denominatore!
Dal momento che ci troviamo di fronte ad una moltiplicazione, affinche' un prodotto non sia MAI uguale a zero, e' sufficiente porre che ogni singolo fattore non sia mai uguale a zero.
Quindi
Detto questo, possiamo applicare il secondo principio di equivalenza
Semplifichiamo i denominatori e rimarra'
Moltiplichiamo
"Portiamo" a sinistra le incognite e a destra i numeri
sommiamo
Bisognera' ora solo accertarsi che la soluzione non appartenga all'insieme di quelle escluse nella discussione del denominatore (che escludeva x=0 e x=1).
La soluzione e' accettabile e pertanto l'equazione e' risolta per
Soluzione grafica di un'equazione di primo grado (lineare).
Una volta eseguiti i calcoli necessari (una volta operato, cioe' sui monomi simili) l'equazione diviene genericamente della fomra
La soluzione, come spiegato nei punti precedenti, verrebbe automatica portando il termine noto a destra e dividendo per il coefficiente di x
Ovvero avremo come soluzione
Se si intende risolvere graficamente l'equazione, invece, si procedera' cosi':
Si determina la condizione y=0, e pertanto, dal momento che l'equazione era
Per rappresentare la retta, assegneremo alla x due valori arbitrari (ovvero scelti a piacere) e ne calcoleremo il valore che la y assume per i valori di x scelti.
Segneremo dunque sul piano cartesiano le due coppie di punti trovati e, dal momento che per due punti passa una sola retta, potremo rappresentare la retta sul piano cartesiano.
Ricorderemo infine che siamo interessati al valore per cui y=0, ovvero, sul piano cartesiano, il valore di x in cui la retta
ESEMPIO
Risolvere graficamente l'equazione
Posto y=0, avremo
Scegliamo due valori di x:
per x=0 avremo
per x=1 avremo
Tracciamo la retta che passi per entrambi i punti. Notiamo che la retta interseca l'asse delle ascisse nel punto
Tale interpretazione grafica delle equazioni di primo grado, e' utile principalmente per l'interpretazione di soluzioni di equazioni di grado superiore, nonche' delle disequazioni.
A tale proposito e' utilie capire graficamente cosa accade per le equazioni indeterminate e impossibili.
Un'equazione indeterminata porta alla rappresentazione di una retta coincidente con l'asse x, che pertanto, per ogni valore di x, assume valori y=0.
Un'equazione impossibile portera' invece alla rappresentazione di una retta parallela all'asse x. Avremo pertanto una retta che non interseca mai l'asse x rendendo, appunto, l'equazione priva di soluzione.
Sistemi di primo grado a due equazioni e due incognite
Risolvere un sistema significa trovare i valori di x e di y tali che TUTTE le equazioni risultino soddisfatte.
Prendiamo un'equazione di primo grado a due incognite.
Questa equazione avra' infinite soluzioni, dal momento che per ogni valore di x avremo un valore di y che soddisfa l'equazione.
Quando ci si trova davanti ad un sistema di due equazioni, dovremo trovare (se esiste) la coppia di valori x,y che soddisfi entrambe le equazioni.
I metodi di soluzione dei sistemi sono 4 (algebrici) oltre al metodo grafico.
Metodo di sostituzione
Consiste nell'esprimere un'equazione in funzione di un'incognita (a scelta) e sostituire il valore nella seconda equazione. Ci si trovera' davanti ad un'equazione di primo grado in un'incognita sola.
ESEMPIO
Riscriviamo un'equazione in funzione di un'incognita. Ad esempio la prima (ma nulla vieta di farlo con la seconda..)
A questo punto sostituiamo alla seconda equazione il valore di y che abbiamo ricavato dalla prima (ovvero -2x+5)
Eseguiamo i calocli della seconda equazione del sistema, che come si puo' notare, non presenta piu' l'incognita y
Risolviamo la seconda equazione, secondo le consuete modalita'
e dunque
A questo punto, trovato il valore di x, sostituiamo il valore trovato alla prima ricavandoci y
E dunque, eseguendo i calcoli
Risolve il sistema dunque la coppia di valori
ESEMPIO
Dal momento che nella prima equazione abbiamo l'incognita x senza coefficienti, e' opportuno, per velocizzare i calcoli, isolarla.
Sostituiamo alla seconda equazione il valore della x (espresso in funzione di y)
eseguiamo i calcoli
e dunque
La seconda equazione e' impossibile. Questo significa che non esiste una coppia di valori x,y (la seconda equazione ha visto "scomparire" la y) tale che entrambe le equazioni siano soddisfatte.
Come per le equazioni, un sistema che non presenta soluzioni si dice IMPOSSIBILE.
Analogamente, se ci trovassimo nel caso in cui la scomparsa di un'incognita da' luogo ad un'identita' (ovvero se al posto di 3=0 ci fossimo trovati nel caso 0=0) il sistema sarebbe indeterminato (ovvero qualunque coppia (x,y) soddisfa entrambe le equazioni). In questo caso, come per le equazioni, il sistema si dice INDETERMINATO.
Metodo di confronto
Il metodo di confronto, consiste appunto nel mettere a confronto due quantita' definite analogamente.
Una volta riscritte le due equazioni espresse in funzione della stessa quantita' , si uguagliano i valori.
Il concetto e' piu' facile da spiegare con un esempio:
ESEMPIO
Dal momento che la seconda equazione e' espressa in funzione di y (ovvero si presenta come y=....), anziche' procedere con il metodo di sostituzione, possiamo riscrivere la prima equazione, anch'essa in funzione di y
La prima equaizne diverra' dunque
Abbiamo dunque
Dal momento che e' vero che y=y allora sara' vero che
Abbiamo dunque, trramite confronto, uguagliato due quantita' rendendo di fatto l'equazione in un'unica incognita.
Tale operazione puo' essere effettuata analogamente mettendo a confronto le x, se i calcoli evidenziassero maggiore comodita' nella scelta.
Per finire l'esercizio, dunque, risolviamo l'equazione
A questo punto sostituiamo ad una delle due equazioni il valore di x, ricavandoci il valore di y.
E' ovvio che la sostituzione del valore a entrambe le equazioni, dovra' darci lo stesso valore di y!
Metodo di riduzione
Il metodo di riduzione consiste nel sottrarre (o aggiungere) alla prima equazione del sistema, la seconda.
Tale operazione e' utile per eliminare una delle due incognite e trovarsi cosi' di fronte ad un'equazione in una sola incognita.
Affinche' tale operazione abbia senso, sara' opportuno dapprima applicare il secondo principio di equivalenza delle equazioni, ad una o ad entrambe le equazioni, in modo da avere lo stesso coefficiente dell'incognita che si intende eliminare (di segno uguale od opposto). Solo in questo modo la somma/differenza delle equazioni ha significato.
ESEMPIO
Scegliamo l'incognita che intendiamo eliminare:
I coefficienti delle x sono rispettivamente 2 e 4. Applicando il secondo principio di equivalenza alla prima equazione (ovvero moltiplicando ambo i membri per 2) i coefficienti delle x saranno entrambi 4.
ovvero
(nel caso le equazioni fossero scritte in maniera non ordinata, converra' riscriverle in modo da averle entrambe con le incognite e il termine noto nello stesso ordine..)
Sottraimo dalla prima equazione, la seconda
e dunque
A questo punto sostituiamo il valore di y trovato ad una delle due equazioni e ricaviamo y.
Se la somma/differenza porta all'eliminazione di entrambe le incognite, avremo un sistema indeterminato (risultato della somma/differenza sara' 0=0) o impossibile (risultato della somma: a=0, dove a e' un numero qualunque diverso da 0)
Metodo di Cramer
Per utilizzare la regola di Cramer e' opportuno dapprima riscrivere le equazioni del sistema in modo che entrambe le equazioni siano della forma
Ci troveremo di fronte dunque ad un sistema del tipo:
La soluzione del sistema verra' ricavata attraverso l'utilizzo delle matrici.
Dapprima scriviamo la matrice dei termini coefficienti delle due incognite:
E ne calcoliamo il Delta (ovvero eseguiamo la differenza della moltiplicazione dei valori sulle diagonali)
Per trovare x dovremo scrivere la matrice 2x2, in cui evidenzieremo nella prima colonna i termini noti e nella seconda i coefficienti delle y
e anche qui ne ricaveremo il delta
La x sara' data dal rapporto dei due Delta
Per trovare la y procederemo in maniera analoga con la matrice formata dai termini noti e i coefficienti di x
e ne calcoleremo il delta
e avremo
(attenzione all'ordine di scrittura dei coefficienti!)
ESEMPIO
Riscriviamo le equazioni secondo quanto previsto dall'applicazione della regola di Cramer:
Calcoliamo il determinante (frazione comune delle soluzioni) del termine noto:
Poi della x
e analogamente della y
Pertanto avremo
Metodo grafico
Risolvere un sistema con il metodo grafico significa interpretare le due equazioni come equazioni di due rette del piano cartesiano.
La soluzione del sistema rappresentera' le corrdinate del punto di intersezione tra le due rette.
Se il sistema da' una soluzione, allora le due rette saranno incidenti.
Se il sistema e' impossibile, significhera' che le due rette rappresentate dalle equazioni, sono parallele e pertanto non si incontrano mai.
Se il sistema e' indeterminato, significa che le due equazioni rappresentano la stessa retta (ovvero due rette coincidenti).
Come per la soluzione delle equazioni con il metodo grafico, risolvere graficamente un sistema puo' (ovviamente) portare al calcolo della soluzione in maniera sommaria, ma e' utile proprio per verificare che il sistema, svolto in modo algebrico, abbia dato una soluzione (o nessuna o infinite) in linea con la rappresentazione grafica delle due rette.
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