Equazione esponenziale con metodo grafico

In questo appunto di matematica si illustra come risolvere graficamente un particolare tipo di equazione esponenziale, definendo le caratteristiche di una funzione esponenziale e discutendo l’eventuale esistenza delle soluzioni.

Funzioni esponenziali

Chiameremo funzione esponenziale tutte le funzioni del tipo

dove a è un numero reale positivo e viene chiamato base dell’esponenziale.
Il campo di esistenza di tali funzioni è tutto l’insieme dei numeri reali, R, mentre il codominio è costituito dai numeri reali positivi.

Tali funzioni sono sempre positive e non si annullano mai, in quanto non può esistere nessun valore reale della x per cui

fornisce il valore zero.

Una delle caratteristiche fondamentali di tale funzioni è che sono monotone, ossia strettamente crescenti o strettamente decrescenti a seconda del valore della base a. Tale caratteristica fa si che una funzione esponenziale sia biiettiva e quindi invertibile: la funzione inversa di una esponenziale è la funzione logaritmica.
Diremo che due o più esponenziali sono simili se hanno la stessa base e lo stesso esponente.
Le proprietà degli esponenziali possono essere così brevemente riassunte:

• [math]
  (a^n)(a^m) = a^{n + m}
  [/math]
• [math]
  (a^n) : (a^m) = \frac{a^n}{a^m} = a^{n - m}
  [/math]
• [math]
  [(a^n)]^m = a^{m n}
  [/math]
• [math]
  \sqrt[n]{a^m } = a^{\frac{m}{n}}
  [/math]
• [math]
  a^{-n} = \frac{1}{a^n}
  [/math]
• [math]
  1^n = 1
  [/math]
• [math]
  0^n = 0
  [/math]
  dove n>0
• [math]
  a^0 = 1.
  [/math]

Il grafico di tali funzioni esponenziali dipende dal valore della base a.
Se a>1, avremo una funzione strettamente crescente.
Infatti data

Se x assume valori verso meno infinito (valori negativi), ossia infinitamente negativi, il valore di

assume valori molti piccoli, prossimi allo zero:

Se facciamo crescere i valori assegnati alla variabile indipendente x, i valori della y iniziano a crescere sempre più. Quando x = 0, avremo

, ossia y = 1, per cui la funzioni passo per il punto (0;1), intersecando l’asse delle y nel punto di ordinata 1.
Per valori positivi della variabile x, la funzione

continua a crescere fino a valori infiniti (si dice che tende a più infinito).
Se 0, avremo una funzione strettamente decrescente.
Per valori della x infinitamente negativi, il valore della base a, assume il valore del suo reciproco elevato al valore assoluto di x:
quindi se x tende a meno infinito la funzione

tende ad assumere valori infinitamente positivi (ossia tende a più infinito).
Se i valori della x tendono a zero, la funzione assumerà di nuovo il valore y = 1, mentre per valori della x maggiori di zero la funzione tenderà a zero.
In entrambi i casi descritti, l’asse delle ascisse, , costituisce l’asintoto orizzontale della funzione esponenziale.
Nel caso in cui a =1, avremo la funzione

[math]
y = 1^x
[/math]

, ossia y =1 per qualunque valore della x: retta parallela all’asse delle x passante per il punto (0;1).

Il Teorema degli Zeri

Il Teorema degli zeri ci fornisce alcune condizioni in base alle quali, possiamo stabilire se l’equazione associata alla funzione in esame, ha almeno una soluzione, ossia uno zero, punto in cui la funzione data interseca l’asse delle ascisse, x.
Precisiamo che le condizioni imposte da tale teorema sono necessarie, ma non sufficienti, ossia se si verificano le ipotesi, sicuramente la tesi sarà soddisfatta, ma non è detto che se si verifichi la tesi, siano verificate anche le ipotesi.
Il Teorema di Esistenza degli Zeri afferma che:
sia

[math]
y = f(x)
[/math]

una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b] e tale da assumere valori di segno opposto negli estremi di tale intervallo, ossia tale che f(a) f(b) f(c) = 0.
E’ bene ribadire che se sono soddisfatte le ipotesi, sicuramente l’equazione avrà almeno una soluzione, ma se le ipotesi del teorema non sono soddisfatte, non è detto che non esistano zeri.
Si noti che l’ipotesi che impone che

[math]
f(x)
[/math]

sia continua su un intervallo chiuso e limitato, può essere estesa anche ad un intervallo aperto ed illimitato, purché i valori della funzione negli estremi di tale intervallo (calcolato, in questo caso, tramite limiti) siano di segno opposto: ad esempio, se una funzione è definita su tutto l’insieme dei numeri reali, il Teorema di Esistenza degli Zeri può essere applicato purché il limite della funzione data a più infinito ed a meno infinito assuma valori di segno opposto (non necessariamente finiti).

Risoluzione di un’equazione esponenziale tramite metodo grafico

La risoluzione di una qualunque equazione tramite il metodo grafico consiste nei seguenti passaggi:

• spezzare l’equazione di partenza in due parti (due funzioni) che vanno a costituire una identità;
• disegnare i grafici di ciascuna funzione (primo membro e secondo membro);
• trovare il punto di intersezione di tali funzioni, che risulta essere la soluzione dell’equazione di partenza.

Tale metodo si usa solitamente quando l'incognita dell'equazione è presente in due funzioni di natura diversa.
Prima di procedere con la risoluzione dell’equazione tramite il metodo grafico e buona consuetudine applicare il Teorema degli Zeri per valutare l’eventuale esistenza delle soluzioni.
Sia data l’equazione

[math]
3^{x - 1} + x – 1 = 0.
[/math]

Tale equazione non è risolvibile con i metodi classici per cui utilizzeremo il metodo grafico.
Applichiamo innanzi tutto il Teorema degli Zeri per valutare l’esistenza delle soluzioni.
La funzione che rappresenta l’equazione

[math]
y = 3^{x - 1} + x – 1
[/math]

è definita su tutto l’insieme dei numeri reali, per cui dovremo vedere cosa succede ai valori della funzione a meno infinito ed a più infinito:

• se x tende a meno infinito si ha che
  [math]
  3^{x - 1}
  [/math]
  tende a zero, mentre x – 1 tende a meno infinito;
• se x tende a più infinito si ha che anche
  [math]
  3^{x - 1}
  [/math]
  tende a più infinito.

Quindi si può concludere che la funzione data assume valori di segno opposto sul suo campo di esistenza, in base a questo esiste almeno un punto in cui si annulla.
Passiamo adesso alla risoluzione grafica di tale equazione.
Suddividiamo l’equazione di partenza in due funzioni:

[math]
3^{x - 1} = 1 – x
[/math]

Osserviamo subito che il primo membro dell'equazione è costituito da una funzione trascendente, ovvero un'esponenziale del tipo:

[math]
y=a^x
[/math]

[math]
y_1 = 3^{x - 1}
[/math]

mentre il secondo membro è una funzione algebrica, razionale intera, ovvero una funzione lineare:

[math]
y_2 = 1 – x
[/math]

e stracci il grafico della funzione a primo membro e di quella a secondo membro.
Primo membro:

[math]
y_1 = 3^{x - 1}
[/math]

ossia

[math]
y_1 = (\frac{1}{3}) 3^x
[/math]

per ottenere il grafico di tale funzione basterà tracciare il grafico di

[math]
y = 3^x
[/math]

, ossia dell’esponenziale con base maggiore di 1, strettamente crescente che passa per il punto (0;1) e poi moltiplicare i suoi valori per

[math]
\frac{1}{3}.
[/math]

Quindi otterremo ancora l’andamento di una curva esponenziale che però passa per il punto

[math]
(0, \frac{1}{3})
[/math]

, come si può vedere dall’immagine riportata (curva di colore verde).
Secondo membro:

[math]
y_2 = 1 – x
[/math]

è una retta con coefficiente angolare, m = -1, quindi decrescente, che passa per il punto (0;1)e per il punto (1;0) (curva di colore blu).
Notiamo che i due grafici delle funzioni

[math]
y_1
[/math]

ed

[math]
y_2
[/math]

(verde e blu) si intersecano in un punto di ascissa x=c, dove 0 Al fine di trovare un valore approssimato di c con una maggiore precisione si possono usare vari metodi, i più noti sono:

• metodo di bisezione;
• metodo delle tangenti.

Nel metodo della bisezione si suddivide l’intervallo in cui è contenuta la soluzione (in questo caso (0,1) a metà e si applica il Teorema degli Zeri ad ognuno dei due intervalli; trovato l’intervallo in cui vengono verificare le ipotesi di tale teorema, si procede ad una ulteriore bisezione e si riapplica ad ogni intervallo il teorema e così via: più sono gli intervalli in cui viene suddiviso l’intervallo di partenza, maggiore sarà la precisione con cui si approssima il valore di c.
Il metodo delle tangenti consiste nel considerare l’intervallo in cui si suppone sia la soluzione dell’equazione e tracciare rette tangenti ai due grafici, fino a determinare quelle che si intersecano in c: maggiore è il numero di tangenti, maggiore sarà la precisione con cui si individua il punto c.

per ulteriori approfondimenti sulle equazioni esponenziali vedi anche qua