In questo appunto di matematica si illustra come risolvere graficamente un particolare tipo di equazione esponenziale, definendo le caratteristiche di una funzione esponenziale e discutendo l’eventuale esistenza delle soluzioni.
Indice
Funzioni esponenziali
Chiameremo funzione esponenziale tutte le funzioni del tipoy = a^x
[/math]
dove a è un numero reale positivo e viene chiamato base dell’esponenziale.
Il campo di esistenza di tali funzioni è tutto l’insieme dei numeri reali, R, mentre il codominio è costituito dai numeri reali positivi.
Tali funzioni sono sempre positive e non si annullano mai, in quanto non può esistere nessun valore reale della x per cui
a^x
[/math]
Diremo che due o più esponenziali sono simili se hanno la stessa base e lo stesso esponente.
Le proprietà degli esponenziali possono essere così brevemente riassunte:
- [math]
(a^n)(a^m) = a^{n + m}
[/math] - [math]
(a^n) : (a^m) = \frac{a^n}{a^m} = a^{n - m}
[/math] - [math]
[(a^n)]^m = a^{m n}
[/math] - [math]
\sqrt[n]{a^m } = a^{\frac{m}{n}}
[/math] - [math]
a^{-n} = \frac{1}{a^n}
[/math] - [math]
1^n = 1
[/math] -
[math]dove n>0
0^n = 0
[/math] - [math]
a^0 = 1.
[/math]
Se a>1, avremo una funzione strettamente crescente.
Infatti data
y = a^x
[/math]
Se x assume valori verso meno infinito (valori negativi), ossia infinitamente negativi, il valore di
a^x
[/math]
y = \frac{1}{a^{|x|}}
[/math]
Se facciamo crescere i valori assegnati alla variabile indipendente x, i valori della y iniziano a crescere sempre più. Quando x = 0, avremo
y = a^0
[/math]
Per valori positivi della variabile x, la funzione
y = a^x
[/math]
Se 0, avremo una funzione strettamente decrescente.
Per valori della x infinitamente negativi, il valore della base a, assume il valore del suo reciproco elevato al valore assoluto di x:
quindi se x tende a meno infinito la funzione
y = a^x
[/math]
Se i valori della x tendono a zero, la funzione assumerà di nuovo il valore y = 1, mentre per valori della x maggiori di zero la funzione tenderà a zero.
In entrambi i casi descritti, l’asse delle ascisse, , costituisce l’asintoto orizzontale della funzione esponenziale.
Nel caso in cui a =1, avremo la funzione
y = 1^x
[/math]
Il Teorema degli Zeri
Il Teorema degli zeri ci fornisce alcune condizioni in base alle quali, possiamo stabilire se l’equazione associata alla funzione in esame, ha almeno una soluzione, ossia uno zero, punto in cui la funzione data interseca l’asse delle ascisse, x.Precisiamo che le condizioni imposte da tale teorema sono necessarie, ma non sufficienti, ossia se si verificano le ipotesi, sicuramente la tesi sarà soddisfatta, ma non è detto che se si verifichi la tesi, siano verificate anche le ipotesi.
Il Teorema di Esistenza degli Zeri afferma che:
sia
y = f(x)
[/math]
E’ bene ribadire che se sono soddisfatte le ipotesi, sicuramente l’equazione avrà almeno una soluzione, ma se le ipotesi del teorema non sono soddisfatte, non è detto che non esistano zeri.
Si noti che l’ipotesi che impone che
f(x)
[/math]
Risoluzione di un’equazione esponenziale tramite metodo grafico
La risoluzione di una qualunque equazione tramite il metodo grafico consiste nei seguenti passaggi:- spezzare l’equazione di partenza in due parti (due funzioni) che vanno a costituire una identità;
- disegnare i grafici di ciascuna funzione (primo membro e secondo membro);
- trovare il punto di intersezione di tali funzioni, che risulta essere la soluzione dell’equazione di partenza.
Prima di procedere con la risoluzione dell’equazione tramite il metodo grafico e buona consuetudine applicare il Teorema degli Zeri per valutare l’eventuale esistenza delle soluzioni.
Sia data l’equazione
3^{x - 1} + x – 1 = 0.
[/math]
Tale equazione non è risolvibile con i metodi classici per cui utilizzeremo il metodo grafico.
Applichiamo innanzi tutto il Teorema degli Zeri per valutare l’esistenza delle soluzioni.
La funzione che rappresenta l’equazione
y = 3^{x - 1} + x – 1
[/math]
è definita su tutto l’insieme dei numeri reali, per cui dovremo vedere cosa succede ai valori della funzione a meno infinito ed a più infinito:
- se x tende a meno infinito si ha che [math]tende a zero, mentre x – 1 tende a meno infinito;
3^{x - 1}
[/math] - se x tende a più infinito si ha che anche [math]tende a più infinito.
3^{x - 1}
[/math]
Passiamo adesso alla risoluzione grafica di tale equazione.
Suddividiamo l’equazione di partenza in due funzioni:
3^{x - 1} = 1 – x
[/math]
Osserviamo subito che il primo membro dell'equazione è costituito da una funzione trascendente, ovvero un'esponenziale del tipo:
y=a^x
[/math]
y_1 = 3^{x - 1}
[/math]
mentre il secondo membro è una funzione algebrica, razionale intera, ovvero una funzione lineare:
y_2 = 1 – x
[/math]
e stracci il grafico della funzione a primo membro e di quella a secondo membro.
Primo membro:
y_1 = 3^{x - 1}
[/math]
ossia
y_1 = (\frac{1}{3}) 3^x
[/math]
per ottenere il grafico di tale funzione basterà tracciare il grafico di
y = 3^x
[/math]
\frac{1}{3}.
[/math]
Quindi otterremo ancora l’andamento di una curva esponenziale che però passa per il punto
(0, \frac{1}{3})
[/math]
Secondo membro:
y_2 = 1 – x
[/math]
è una retta con coefficiente angolare, m = -1, quindi decrescente, che passa per il punto (0;1)e per il punto (1;0) (curva di colore blu).
Notiamo che i due grafici delle funzioni
y_1
[/math]
y_2
[/math]
- metodo di bisezione;
- metodo delle tangenti.
Il metodo delle tangenti consiste nel considerare l’intervallo in cui si suppone sia la soluzione dell’equazione e tracciare rette tangenti ai due grafici, fino a determinare quelle che si intersecano in c: maggiore è il numero di tangenti, maggiore sarà la precisione con cui si individua il punto c.
per ulteriori approfondimenti sulle equazioni esponenziali vedi anche qua
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