Equazioni esponenziali - Alcuni esempi

Appunti di matematica per le scuole superiori. Vedremo cosa si intende per equazioni esponenziali e come bisogna approcciarle partendo dai casi elementari fino a quelli più complessi.

Studente Anonimo
di Studente Anonimo
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In questo appunto vengono risolti alcuni esercizi sulle funzioni esponenziali.
Per comprendere meglio tali esercizi viene proposto un breve ripasso su funzioni esponenziali e logaritmiche e sulle loro proprietà.

Equazioni esponenziali - Alcuni esempi articolo

Indice

  1. Funzione esponenziale:
  2. Funzione logaritmica:
    1. Equazione esponenziale: definizione e esempi
    2. Equazioni esponenziali risolvibili con i logaritmi
    3. Equazioni esponenziali - caso generale
    4. Equazioni esponenziali - casi particolari

Funzione esponenziale:

Una funzione esponenziale ha la forma generale riportata in seguito:
[math]a^x[/math]

ed è composta da due elementi caratteristici: la base e l’esponente.
La base (in questo caso corrisponde ad a) può assumere qualsiasi numero intero positivo perciò a>0, mentre l’esponente è un qualunque numero reale.
La funzione esponenziale restituisce un valore sempre positivo.

Riportiamo in seguito alcune proprietà degli esponenziali:

  1. [math]a^0=1[/math]

    [math]e^0=1[/math]

    Qualsiasi numero elevato alla zero da come risultato 1.
    In questo esponenziale compare come base la lettera e, tale lettera corrisponde al numero di Eulero (numero irrazionale costante, e=2,718...), questo numero viene molto utilizzato perché permette di esprimere in modo coerente alcuni comportamenti della natura.

  2. [math]a^x \cdot a^y=a^{(x+y)}[/math]

    Tale proprietà può essere utilizzata quando si ha un prodotto tra due funzioni esponenziali aventi la stessa base e diverso esponente, il risultato del prodotto è un esponenziale con la stessa base e con esponente pari alla somma degli esponenti.

  3. [math]a^x : a^y=a^{(x-y)}[/math]

    Tale proprietà può essere utilizzata quando si ha il rapporto tra due funzioni esponenziali aventi la stessa base e diverso esponente, il risultato del rapporto è un esponenziale con la stessa base e con esponente pari alla differenza degli esponenti.

  4. [math](a^x)^y=a^{(x \cdot y)}[/math]

    Tale proprietà afferma che quando si ha una potenza di una potenza (nel nostro caso a è elevato alla x e il tutto è poi elevato alla y), il risultato è equivalente alla potenza che ha la stessa base e come esponente il prodotto degli esponenti.

  5. [math]a^x \cdot b^x =(a \cdot b)^x[/math]

    Tale proprietà afferma che il prodotto di due esponenziali con base diversa ma esponente uguale equivale all’esponenziale che ha come base il prodotto delle basi e come esponente lo stesso esponente delle due funzioni di partenza.

  6. [math]a^x : b^x =(a : b)^x[/math]

    Tale proprietà afferma che il rapporto di due esponenziali con base diversa ma esponente uguale equivale all’esponenziale che ha come base il rapporto delle basi e come esponente lo stesso esponente delle due funzioni di partenza.

Le uniche proprietà di cui gode la funzione esponenziale si hanno per prodotti o rapporti di funzioni esponenziali, non esiste alcuna proprietà per la somma o la differenza di funzioni esponenziali.
Per ulteriori approfondimenti sul numero di Eulero e sulla vita di questo matematico vedi anche qua.

Funzione logaritmica:

La funzione logaritmica è la funzione inversa rispetto a quella esponenziale e ha la seguente forma:
[math]log_a (b)=c[/math]

Dove:
a=base del logaritmo
b=argomento
c=risultato

Il risultato della funzione logaritmica (c) è l’esponente da dare alla base (a) per ottenere l’argomento b; perciò:

[math]a^c=b[/math]

Riportiamo in seguito una proprietà fondamentale dei logaritmi:

[math]log(b^x)=x \cdot log(b)[/math]

Se ad argomento del logaritmo c’è un esponenziale è possibile portare l’esponente a prodotto, fuori dal logaritmo.

Per ulteriori approfondimenti sui logaritmi e sulle loro proprietà vedi anche qua

Equazione esponenziale: definizione e esempi

Una equazione esponenziale è una equazione in cui l'incognita si trova come esponente di una qualsiasi base.

Esempio 1

[math]3^x = - 1\\[/math]
;
equazione impossibile in quanto una funzione esponenziale è strettamente positiva, ossia non può porgere mai un valore minore o uguale a zero.

Esempio 2

[math]3^x = 9\\[/math]
;

[math]3^x = 3^2\\[/math]
;

non rimane che uguagliare gli esponenti:

[math]x = 2\\[/math]
.

Esempio 3

[math]4^{2-x}\cdot 2^{x+1} = 16\\[/math]
;

[math]2^{2\,(2-x)}\cdot 2^{(x+1)} = 2^4\\[/math]
;

[math]2^{2\,(2-x) + (x+1)} = 2^4\\[/math]
;

[math]2^{5 - x} = 2^4\\[/math]
;

non rimane che uguagliare gli esponenti:

[math]5 - x = 4\\[/math]
;

[math]x = 1\\[/math]
.

Equazioni esponenziali risolvibili con i logaritmi

Esempio 1

[math]2^x = 11\\[/math]
;

applicando ambo i membri dell'equazione il logaritmo in base naturale e, si ha:

[math]\log\left(2^x\right) = \log(11)\\[/math]
;

applicando una nota proprietà dei logaritmi:

[math]x\,\log(2) = \log(11)\\[/math]
;

[math]x = \frac{\log(11)}{\log(2)}\\[/math]
.

Esempio 2

[math]2^{x^2 + 1} = 7\\[/math]
;

applicando ambo i membri dell'equazione il logaritmo in base naturale e, si ha:

[math]\log\left(2^{x^2 + 1}\right) = \log(7)\\[/math]
;

applicando una nota proprietà dei logaritmi:

[math]\left(x^2 + 1\right)\,\log(2) = \log(7)\\[/math]
;

[math]x^2 = \frac{\log(2)}{\log(7)} - 1\\[/math]
;

[math]x = - \sqrt{\frac{\log(2)}{\log(7)} - 1} \; \vee \; x = \sqrt{\frac{\log(2)}{\log(7)} - 1}\\[/math]
.

Equazioni esponenziali - caso generale

Esempio 1

[math]3^{\frac{x-1}{x+2}} = \left(\frac{1}{9}\right)^{\frac{x}{6}}\cdot\sqrt{9^{\frac{x}{x+2}}}\\[/math]
;

[math]3^{\frac{x-1}{x+2}} = 3^{- \frac{x}{3}}\cdot 3^{\frac{x}{x+2}}\\[/math]
;

[math]3^{\frac{x-1}{x+2}} = 3^{- \frac{x}{3} + \frac{x}{x+2}}\\[/math]
;

non rimane che uguagliare gli esponenti:

[math]\frac{x - 1}{x + 2} = - \frac{x}{3} + \frac{x}{x + 2}\\[/math]

[math]\frac{(x + 3)\,(x - 1)}{3\,(x + 2)} = 0\\[/math]
;

[math]x = - 3 \; \vee \; x = 1\\[/math]
.

Esempio 2

[math]2^{1 - x} + 2^{1 + x} = 4\\[/math]
;

[math]\frac{2}{2^x} + 2\cdot 2^x = 4\\[/math]
;

sostituzione:

[math]t = 2^x\\[/math]
;

[math]\frac{2}{t} + 2\,t = 4\\[/math]
;

moltiplicando ambo i membri per

[math]t\\[/math]
, si ha:

[math]2 + 2\,t^2 = 4\,t\\[/math]
;

[math]t^2 - 2\,t + 1 = 0\\[/math]
;

[math](t - 1)^2 = 0\\[/math]
;

[math]t = 1\\[/math]
;

dunque, ricordando che

[math]t = 2^x\\[/math]
, si ottiene:

[math]2^x = 1\\[/math]
;

[math]2^x = 2^0\\[/math]
;

non rimane che uguagliare gli esponenti:

[math]x = 0\\[/math]
.

Equazioni esponenziali - casi particolari

Esempio 1

[math]x^{\sqrt{x}} = \sqrt{x}\\[/math]
;

applicando ambo i membri dell'equazione il logaritmo in base naturale e, si ha:

[math]\log\left(x^{\sqrt{x}}\right) = \log(\sqrt{x})\\[/math]
;

applicando le note proprietà dei logaritmi:

[math]\sqrt{x}\,\log(x) = \frac{1}{2}\,\log(x)\\[/math]
;

[math]\left(\sqrt{x} - \frac{1}{2}\right)\log(x) = 0\\[/math]
;

[math]\sqrt{x} - \frac{1}{2} = 0 \; \vee \; \log(x) = 0\\[/math]
;

[math]x = \frac{1}{4} \; \vee \; x = 1\\[/math]
.

Esempio 2

[math]2^x = 3\,x\\[/math]
;

in questo caso, così come nella maggior parte in cui l'incognita non compare solo all'esponente, non è possibile determinare la soluzione per via analitica ma solamente per via numerica: trattasi di un'equazione trascendente.

Equazioni esponenziali - Alcuni esempi articolo

Essenzialmente conviene riscrivere tale equazione come segue:

[math]\begin{cases} y_1 = 2^x \\ y_2 = 3\,x \\ y_1 = y_2 \end{cases}\\[/math]
;

quindi tracciare i grafici delle due funzioni poste a sistema ed individuarne le intersezioni:

Equazioni esponenziali - Alcuni esempi articolo

Così facendo siamo riusciti ad individuare le due soluzioni reali:

[math]x = \alpha \, \vee \, x = \beta \; \; \; \text{con} \; \; \alpha \in (0,\,1) \; \; \text{e} \; \; \beta \in (3,\,4) \; .\\[/math]
Per approssimare con errore qualsivoglia
[math]\alpha[/math]
e
[math]\beta[/math]
occorre fare riferimento a tecniche numeriche quali metodo di bisezione e metodo delle tangenti che però esulano da questo approfondimento. A conti fatti, si ottiene:

[math]\alpha \approx 0.458\,, \; \; \; \; \beta \approx 3.313 \; .[/math]

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