TeM di TeM
Eliminato 23454 punti

Definizione


Una equazione esponenziale è una equazione in cui l'incognita si trova come esponente di una qualsiasi base.


Equazioni esponenziali elementari

Esempio 1

[math]3^x = - 1\\[/math]
;
equazione impossibile in quanto una funzione esponenziale è strettamente positiva, ossia non può porgere mai un valore minore o uguale a zero.


Esempio 2

[math]3^x = 9\\[/math]
;

[math]3^x = 3^2\\[/math]
;

non rimane che uguagliare gli esponenti:

[math]x = 2\\[/math]
.


Esempio 3

[math]4^{2-x}\cdot 2^{x+1} = 16\\[/math]
;

[math]2^{2\,(2-x)}\cdot 2^{(x+1)} = 2^4\\[/math]
;

[math]2^{2\,(2-x) + (x+1)} = 2^4\\[/math]
;

[math]2^{5 - x} = 2^4\\[/math]
;

non rimane che uguagliare gli esponenti:

[math]5 - x = 4\\[/math]
;

[math]x = 1\\[/math]
.


Equazioni esponenziali risolvibili con i logaritmi

Esempio 1

[math]2^x = 11\\[/math]
;

applicando ambo i membri dell'equazione il logaritmo in base naturale e, si ha:

[math]\log\left(2^x\right) = \log(11)\\[/math]
;

applicando una nota proprietà dei logaritmi:

[math]x\,\log(2) = \log(11)\\[/math]
;

[math]x = \frac{\log(11)}{\log(2)}\\[/math]
.


Esempio 2

[math]2^{x^2 + 1} = 7\\[/math]
;

applicando ambo i membri dell'equazione il logaritmo in base naturale e, si ha:

[math]\log\left(2^{x^2 + 1}\right) = \log(7)\\[/math]
;

applicando una nota proprietà dei logaritmi:

[math]\left(x^2 + 1\right)\,\log(2) = \log(7)\\[/math]
;

[math]x^2 = \frac{\log(2)}{\log(7)} - 1\\[/math]
;

[math]x = - \sqrt{\frac{\log(2)}{\log(7)} - 1} \; \vee \; x = \sqrt{\frac{\log(2)}{\log(7)} - 1}\\[/math]
.


Equazioni esponenziali - caso generale

Esempio 1

[math]3^{\frac{x-1}{x+2}} = \left(\frac{1}{9}\right)^{\frac{x}{6}}\cdot\sqrt{9^{\frac{x}{x+2}}}\\[/math]
;

[math]3^{\frac{x-1}{x+2}} = 3^{- \frac{x}{3}}\cdot 3^{\frac{x}{x+2}}\\[/math]
;

[math]3^{\frac{x-1}{x+2}} = 3^{- \frac{x}{3} + \frac{x}{x+2}}\\[/math]
;

non rimane che uguagliare gli esponenti:

[math]\frac{x - 1}{x + 2} = - \frac{x}{3} + \frac{x}{x + 2}\\[/math]

[math]\frac{(x + 3)\,(x - 1)}{3\,(x + 2)} = 0\\[/math]
;

[math]x = - 3 \; \vee \; x = 1\\[/math]
.


Esempio 2

[math]2^{1 - x} + 2^{1 + x} = 4\\[/math]
;

[math]\frac{2}{2^x} + 2\cdot 2^x = 4\\[/math]
;

sostituzione:

[math]t = 2^x\\[/math]
;

[math]\frac{2}{t} + 2\,t = 4\\[/math]
;

moltiplicando ambo i membri per

[math]t\\[/math]
, si ha:

[math]2 + 2\,t^2 = 4\,t\\[/math]
;

[math]t^2 - 2\,t + 1 = 0\\[/math]
;

[math](t - 1)^2 = 0\\[/math]
;

[math]t = 1\\[/math]
;

dunque, ricordando che

[math]t = 2^x\\[/math]
, si ottiene:

[math]2^x = 1\\[/math]
;

[math]2^x = 2^0\\[/math]
;

non rimane che uguagliare gli esponenti:

[math]x = 0\\[/math]
.


Equazioni esponenziali - casi particolari

Esempio 1

[math]x^{\sqrt{x}} = \sqrt{x}\\[/math]
;

applicando ambo i membri dell'equazione il logaritmo in base naturale e, si ha:

[math]\log\left(x^{\sqrt{x}}\right) = \log(\sqrt{x})\\[/math]
;

applicando le note proprietà dei logaritmi:

[math]\sqrt{x}\,\log(x) = \frac{1}{2}\,\log(x)\\[/math]
;

[math]\left(\sqrt{x} - \frac{1}{2}\right)\log(x) = 0\\[/math]
;

[math]\sqrt{x} - \frac{1}{2} = 0 \; \vee \; \log(x) = 0\\[/math]
;

[math]x = \frac{1}{4} \; \vee \; x = 1\\[/math]
.


Esempio 2

[math]2^x = 3\,x\\[/math]
;

in questo caso, così come nella maggior parte in cui l'incognita non compare solo all'esponente, non è possibile determinare la soluzione per via analitica ma solamente per via numerica: trattasi di un'equazione trascendente.

Essenzialmente conviene riscrivere tale equazione come segue:

[math]\begin{cases} y_1 = 2^x \\ y_2 = 3\,x \\ y_1 = y_2 \end{cases}\\[/math]
;

quindi tracciare i grafici delle due funzioni poste a sistema ed individuarne le intersezioni:

Così facendo siamo riusciti ad individuare le due soluzioni reali:

[math]x = \alpha \, \vee \, x = \beta \; \; \; \text{con} \; \; \alpha \in (0,\,1) \; \; \text{e} \; \; \beta \in (3,\,4) \; .\\[/math]

Per approssimare con errore qualsivoglia
[math]\alpha[/math]
e
[math]\beta[/math]
occorre fare riferimento a tecniche numeriche quali metodo di bisezione e metodo delle tangenti che però esulano da questo approfondimento. A conti fatti, si ottiene:


[math]\alpha \approx 0.458\,, \; \; \; \; \beta \approx 3.313 \; .[/math]

Hai bisogno di aiuto in Algebra – Esercizi e Appunti di Algebra lineare?
Trova il tuo insegnante su Skuola.net | Ripetizioni
Registrati via email