Equazioni esponenziali - Alcuni esempi

In questo appunto vengono risolti alcuni esercizi sulle funzioni esponenziali.
Per comprendere meglio tali esercizi viene proposto un breve ripasso su funzioni esponenziali e logaritmiche e sulle loro proprietà.

Funzione esponenziale:

Una funzione esponenziale ha la forma generale riportata in seguito:

ed è composta da due elementi caratteristici: la base e l’esponente.
La base (in questo caso corrisponde ad a) può assumere qualsiasi numero intero positivo perciò a>0, mentre l’esponente è un qualunque numero reale.
La funzione esponenziale restituisce un valore sempre positivo.

Riportiamo in seguito alcune proprietà degli esponenziali:

1. [math]a^0=1[/math]
   [math]e^0=1[/math]

   Qualsiasi numero elevato alla zero da come risultato 1.
   In questo esponenziale compare come base la lettera e, tale lettera corrisponde al numero di Eulero (numero irrazionale costante, e=2,718...), questo numero viene molto utilizzato perché permette di esprimere in modo coerente alcuni comportamenti della natura.

2. [math]a^x \cdot a^y=a^{(x+y)}[/math]

   Tale proprietà può essere utilizzata quando si ha un prodotto tra due funzioni esponenziali aventi la stessa base e diverso esponente, il risultato del prodotto è un esponenziale con la stessa base e con esponente pari alla somma degli esponenti.

3. [math]a^x : a^y=a^{(x-y)}[/math]

   Tale proprietà può essere utilizzata quando si ha il rapporto tra due funzioni esponenziali aventi la stessa base e diverso esponente, il risultato del rapporto è un esponenziale con la stessa base e con esponente pari alla differenza degli esponenti.

4. [math](a^x)^y=a^{(x \cdot y)}[/math]

   Tale proprietà afferma che quando si ha una potenza di una potenza (nel nostro caso a è elevato alla x e il tutto è poi elevato alla y), il risultato è equivalente alla potenza che ha la stessa base e come esponente il prodotto degli esponenti.

5. [math]a^x \cdot b^x =(a \cdot b)^x[/math]

   Tale proprietà afferma che il prodotto di due esponenziali con base diversa ma esponente uguale equivale all’esponenziale che ha come base il prodotto delle basi e come esponente lo stesso esponente delle due funzioni di partenza.

6. [math]a^x : b^x =(a : b)^x[/math]

   Tale proprietà afferma che il rapporto di due esponenziali con base diversa ma esponente uguale equivale all’esponenziale che ha come base il rapporto delle basi e come esponente lo stesso esponente delle due funzioni di partenza.

Le uniche proprietà di cui gode la funzione esponenziale si hanno per prodotti o rapporti di funzioni esponenziali, non esiste alcuna proprietà per la somma o la differenza di funzioni esponenziali.
Per ulteriori approfondimenti sul numero di Eulero e sulla vita di questo matematico vedi anche qua.

Funzione logaritmica:

La funzione logaritmica è la funzione inversa rispetto a quella esponenziale e ha la seguente forma:

Dove:
a=base del logaritmo
b=argomento
c=risultato

Il risultato della funzione logaritmica (c) è l’esponente da dare alla base (a) per ottenere l’argomento b; perciò:

Riportiamo in seguito una proprietà fondamentale dei logaritmi:

Se ad argomento del logaritmo c’è un esponenziale è possibile portare l’esponente a prodotto, fuori dal logaritmo.

Per ulteriori approfondimenti sui logaritmi e sulle loro proprietà vedi anche qua

Equazione esponenziale: definizione e esempi

Una equazione esponenziale è una equazione in cui l'incognita si trova come esponente di una qualsiasi base.

Esempio 1

;
equazione impossibile in quanto una funzione esponenziale è strettamente positiva, ossia non può porgere mai un valore minore o uguale a zero.

Esempio 2

;

;

non rimane che uguagliare gli esponenti:

.

Esempio 3

;

;

;

;

non rimane che uguagliare gli esponenti:

;

.

Equazioni esponenziali risolvibili con i logaritmi

Esempio 1

;

applicando ambo i membri dell'equazione il logaritmo in base naturale e, si ha:

;

applicando una nota proprietà dei logaritmi:

;

.

Esempio 2

;

applicando ambo i membri dell'equazione il logaritmo in base naturale e, si ha:

;

applicando una nota proprietà dei logaritmi:

;

;

.

Equazioni esponenziali - caso generale

Esempio 1

;

;

;

non rimane che uguagliare gli esponenti:

;

.

Esempio 2

;

;

sostituzione:

;

;

moltiplicando ambo i membri per

, si ha:

;

;

;

;

dunque, ricordando che

, si ottiene:

;

;

non rimane che uguagliare gli esponenti:

.

Equazioni esponenziali - casi particolari

Esempio 1

;

applicando ambo i membri dell'equazione il logaritmo in base naturale e, si ha:

;

applicando le note proprietà dei logaritmi:

;

;

;

.

Esempio 2

;

in questo caso, così come nella maggior parte in cui l'incognita non compare solo all'esponente, non è possibile determinare la soluzione per via analitica ma solamente per via numerica: trattasi di un'equazione trascendente.

Essenzialmente conviene riscrivere tale equazione come segue:

;

quindi tracciare i grafici delle due funzioni poste a sistema ed individuarne le intersezioni:

Così facendo siamo riusciti ad individuare le due soluzioni reali:

Per approssimare con errore qualsivoglia

e

occorre fare riferimento a tecniche numeriche quali metodo di bisezione e metodo delle tangenti che però esulano da questo approfondimento.

A conti fatti, si ottiene: