Con il metodo di bisezione possiamo trovare soluzioni approssimate che senza questo metodo non si sarebbero potute trovare. Spieghiamo il metodo con un esempio:
Cerchiamo soluzioni della funzione
[math]x^3-x+1=0[/math]
con approssimazione [math]\epsilon
Riscriviamo l'equazione come
Possiamo affermare che la soluzione della funzione iniziale è
[math]x^3=x-1[/math]
e disegniamo le due funzioni
[math]g(x)=x^3 h(x)=x-1[/math]
Ad occhio scegliamo un intervallo in cui le due funzioni si incontreranno che rappresenta l’unica soluzione dell’equazione, in questo caso
[math][-2;0][/math]
Troviamo il punto medio, che consiste nella soluzione approssimata:
[math]m_0= (a_0+b_0)/2[/math]
che nel nostro caso è: [math]m_0= -1[/math]
Calcoliamo il grado di approssimazione
[math]\epsilon[/math]
della soluzione [math]m_0[/math]
: [math]\epsilon_0= (b_1-a_1)/2[/math]
che nel nostro caso è [math]\epsilon_0=1[/math]
L’approssimazione è maggiore di quella richiesta, quindi cerchiamo l’approssimazione migliore.
Bisogna dividere l’intervallo
[math][-2;0][/math]
in due, ma bisogna prima sapere se la soluzione si trova nell’intervallo [math][-2;-1][/math]
o se si trova nell’intervallo [math][-1;0][/math]
per capirlo utilizziamo il teorema degli zeri secondo cui se il prodotto degli estremi di un intervallo è un numero negativo allora in quell’intervallo ci sarà la soluzione. Applichiamo il teorema degli zeri nell’intervallo
[math][-2;-1][/math]
: [math]f(-2)=-5[/math]
mentre [math]f(-1)=1[/math]
il loro prodotto quindi ci dà un numero negativo. Questo, allora, è l’intervallo giusto dove trovare la soluzione[math][-2;-1][/math]
Troviamo il punto medio che in questo caso è
[math]m_1= - 3/2[/math]
Troviamo l’approssimazione che in questo caso è [math]\epsilon=0,5[/math]
che è inferiore a quella richiesta. Possiamo affermare che la soluzione della funzione iniziale è
[math]x= - 3/2[/math]
con un errore di [math]0,5[/math]
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