In questo appunto di matematica si affrontano tre argomenti strettamente correlati ossia il volume di un corpo, il suo peso ed il suo peso specifico e si affrontano alcuni esempi applicativi.
Il volume
Ogni corpo esistente in natura occupa una porzione di spazio che viene chiamata volume.
Il volume di un corpo viene considerato una caratteristica fisica e geometrica di questo, fondamentale.
L’unità di misura del volume, nel Sistema Internazionale, è il metro cubo,
m^3
[/math]
, cui spesso viene associata l’unità di misura della capacità che è il litro, l.
Si tenga sempre presente che l’unità di misura di queste due grandezze sono legate dalla seguente relazione:
1l = 1dm^3.
[/math]
Il volume di un corpo è una grandezza derivata.
Se il corpo oggetto del nostro studio ha forma geometrica regolare, per il calcolo del suo volume si può ricorrere alle usuali formule note dalla geometria euclidea. In caso contrario per il calcolo del volume sono necessari procedimenti più complessi che richiedono utilizzo di approssimazioni e calcoli che non affronteremo in questa sede.
In linea generale un metodo empirico per il calcolo del volume di un corpo di sagoma irregolare (ossia non approssimabile ad alcuna figura geometrica regolare) e le cui dimensioni sono modeste, può essere quello di calcolare il volume di un qualunque fluido che tale corpo riesce a spostare se vi viene immerso.
Supponiamo, ad esempio, di avere un corpo di forma irregolare, come una comunissima pietra, di cui si vuole misurare il volume. Si abbia inoltre un recipiente cilindrico graduato contenente un liquido (acqua ad esempio) e capace di contenere anche l’oggetto di cui si vuole misurare il volume.
Nel momento in cui tale oggetto viene posto nel recipiente cilindrico, il livello di liquido (inizialmente noto) contenuto in questo sale, poiché il corpo, immergendosi, ha spostato un volume di liquido pari al suo stesso volume: quindi basterà misurare l’innalzamento del liquido ottenuto nel recipiente e nota l’area di base di questo, si può calcolare il volume del fluido spostato e quindi del corpo che vi si è immerso.
Solitamente il volume di un corpo viene considerato costante, si tenga ben presente, però, che nella realtà tale grandezza associata ad un corpo può variare se variano alcuni parametri fondamentali, come ad esempio la temperatura: ad quasi tutti i liquidi aumentano di volume piuttosto notevolmente se riscaldati; in misura ridotta, avviene la stessa cosa per i corpi solidi ed in alcuni casi tali dilatazioni volumiche non sono trascurabili.
Al fine di semplificare il nostro studio e poter trascurare tali variazioni di volume, considereremo tutti i solidi oggetto del nostro interesse in condizioni standard, ossia tali che non si abbiano sollecitazioni che facciano variare il volume.
Il Peso
Un’altra proprietà indispensabile per classificare un corpo oggetto di studio è i suo peso. Bisogna prestare molta attenzione a questo concetto poiché con il termine peso di un corpo in fisica si intende il vettoreforza peso, avente per intensità il prodotto della massa, m (misurata in chilogrammi, Kg) del corpo stesso per l’accelerazione di gravità, g (pari a
9,806m/s^2
[/math]
circa) e misurato in newton, N; per direzione quella del filo a piombo e verso sempre verso il suolo.
In questo appunto il termine peso (per semplicità di argomentazione) sarà riferito alla sola massa del corpo. E’ bene precisare che il concetto di massa è ben diverso dal concetto di peso: quest’ultimo è un vettore che può variare non solo in modulo (in effetti la costante g varia sulla superficie terrestre), ma anche in direzione e verso; la massa di un corpo, che indica la quantità di materia di cui è costituito, è una grandezza scalare ed in quanto tale non varia mai.
Nel Sistema Internazionale l’unità di misura della massa è il chilogrammo (Kg) con multipli e sottomultipli.
La grandezza derivata che mette in relazione massa e volume è la densità, definita come il rapporto fra la massa di un corpo ed il suo volume:
d = \frac{m}{V} [Kg][m^-3]
[/math]
La densità fornisce una misura della massa per unità di volume di un corpo. Diremo che un corpo è omogeneo se la sua densità è costante, ossia se ha la stessa quantità di massa in ogni suo punto, non omogeneo in caso contrario.
In natura, ogni elemento è caratterizzato da una densità nota.
Il Peso specifico
Il peso specifico di un corpo viene definito come il rapporto fra il suo peso ed il volume del corpo stesso:
p_s = \frac{P}{V} [N][m^-3]
[/math]
oppure essendo
P = m g
[/math]
p_s = \frac{mg}{V}
[/math]
p_s = d g
[/math]
ossia come il prodotto della densità per l’accelerazione di gravità, g.
Si hanno due tipi di peso specifico:
- il peso specifico relativo;
- il peso specifico assoluto.
Il peso specifico relativo,
p_r
[/math]
, è definito dal rapporto del peso P di un corpo ed il peso
P_1
[/math]
di un uguale volume di acqua distillata alla temperatura di 4°C:
p_r = \frac{P}{P_1}.
[/math]
Il peso specifico assoluto,
p_a
[/math]
, più comunemente chiamato peso specifico,
p_s
[/math]
(quello che tratteremo negli esercizi proposti) è quello che abbiamo già definito come il rapporto fra il peso ed il volume del corpo o peso dell’unità di volume.
Si noti che il valore del peso specifico dipende dal luogo in cui si trova il corpo considerato, poiché come già spiegato il peso dipende dall’accelerazione di gravità che varia sulla superficie terrestre.
Dall’espressione del peso specifico si ottengono:
P = (p_s)(V)
[/math]
che esprime il peso del corpo in funzione del peso specifico e del volume; il peso di un corpo si ottiene moltiplicando il peso specifico della sostanza di cui è formato per il suo volume.
V = \frac{P}{p_s}
[/math]
che esprime il volume del corpo in funzione del suo peso e del suo peso specifico; il volume di un corpo si ottiene dividendo il suo peso per il peso specifico della sostanza di cui è formato.
Il peso specifico è caratteristico di ogni sostanza.
Esempi di calcolo
A seguire si illustrano alcuni semplici esempi di applicazione di quanto esposto sopra
La formula è una uguaglianza, espressa in simboli, di una relazione tra grandezze fisiche o matematiche.
Esempio 1
Si vuole calcolare il volume di un corpo conoscendone il suo peso ed il peso specifico della sostanza che lo costituisce.
Sapendo che il peso specifico del marmo è
2,6 g/cm^3
[/math]
, si calcoli il volume di un oggetto di marmo avente peso di 325 cg.
Svolgimento
In questo problema è necessaria una equivalenza per portare da centigrammi a grammi la massa del corpo (nel caso esposto si divide per 100):
325 cg = 3,25 g
Sapendo che:
V = \frac{P}{p_s}
[/math]
V = \frac{3,25}{2.6} cm^3
[/math]
V = 1,25 cm^3
[/math]
Pertanto il volume dell'oggetto di marmo è di
1,25 cm^3
[/math]
.
Esempio 2
Si vuole calcolare il valore del peso specifico, conoscendo peso e volume di una data sostanza.
Sia data una certa quantità di un liquidi avente peso pari a 55,3 hg, con la quale si riempie un recipiente avente capacità di 700 cl.
Calcolare il peso specifico di quel liquido.
Svolgimento
Portiamo la massa in chilogrammi:
55,3 hg = 5,53 Kg (abbiamo diviso per 10)
ed il volume in litri
700 cl = 7 l = 7 dm^3 = (7)(10^-3) m^3
[/math]
Quindi sapendo che
p_s = \frac{P}{V}
[/math]
otteniamo
p_s = \frac{5,53}{(7)(10^-3)} = 790 Kg/m^3
[/math]
che potrebbe essere il peso specifico dell’alcool etilico.
Esempio 3
Si vuole calcolare il peso di una sostanza conoscendone il peso specifico ed il volume.
Ho comprato 5 l di olio (
p_s = 0,91
[/math]
) a € 11,1 al litro.
Avrei risparmiato se avessi comperato lo stesso olio a € 11,7 al kg?
Svolgimento
La spesa effettuata, S, per l’acquisto della quantità di olio sopra riportata è pari a:
S = (5)(11,1) € = 55,5 €.
Il volume di olio acquistato è:
5l = 5 dm^3
[/math]
di cui possiamo calcolare il peso, conoscendone il peso specifico:
P = (p_s)(V) = (0,91)(5) Kg = 4,55 Kg
[/math]
Il costo per tale quantità sarebbe stato il seguente:
S_1
[/math]
= (11,7)(4,55) € = 53,24 €
che risulta inferiore alla spesa fatta acquistando tale prodotto pagandolo 11,1 €/l.
Il risparmio, R, che avrei avuto sarebbe stato il seguente:
R = (55,5-53,24) € = 2,26 €.
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