In quest'appunto troverai delle informazioni riguardanti la definizione di proporzionalità e come calcolarla.
Indice
Cos'è una grandezza e da cosa è definita
Una grandezza si dice costante se mantiene sempre lo stesso valore. La velocità di un corpo che si muove di moto rettilineo uniforme è, ad esempio, una grandezza costante. Al contrario, essa viene definita variabile se può assumere valori diversi. La velocità di un corpo che si muove con una certa accelerazione è una grandezza variabile.Date due grandezze variabili,
[math]x[/math]
è detta variabile indipendente e [math]y[/math]
è detta variabile dipendente. Ciò significa che [math]y[/math]
è funzione di [math]x[/math]
se a ogni valore di [math]x[/math]
corrisponde uno e un solo valore di [math]y[/math]
. Una funzione si dice empirica se si può calcolare solo con delle misurazioni.
Grandezze direttamente proporzionali e la legge di proporzionalità diretta
Due grandezze variabili dipendenti[math]x[/math]
e [math]y[/math]
si dicono direttamente proporzionali se al raddoppiare triplicare, etc. di [math]x[/math]
corrisponde il triplicare , raddoppiare etc. di [math]y[/math]
.Se due grandezze sono direttamente proporzionali, il loro rapporto si mantiene costante.
Se il coefficiente di proporzionalità tra due grandezze è
[math]24[/math]
o [math]\frac{4}{3}[/math]
o qualsiasi numero maggiore di uno, allora sono direttamente proporzionali.La legge di proporzionalità diretta è
[math]\frac{y}{x} = k[/math]
o [math]y = k \cdot x[/math]
e il suo diagramma sul piano cartesiano è una retta uscente dall'origine degli assi cartesiani. Tale diagramma presenta sull'asse delle [math]x[/math]
la variabile indipendente e sull'asse delle [math]y[/math]
quella dipendente. La retta uscente dall'origine ha come coefficiente angolare il coefficiente di proporzionalità tra due grandezze: ciò significa che se la retta ha pendenza maggiore, il coefficiente di proporzionalità sarà più alto. Se, invece, la retta ha pendenza minore, il coefficiente di proporzionalità sarà più basso. Se il coefficiente non è costante, le due grandezze non sono direttamente proporzionali e il diagramma non sarà più una retta ma un'altra figura (come ad esempio una parabola, un'iperbole etc.).
Grandezze inversamente proporzionali e la legge di proporzionalità inversa
Due grandezze variabili dipendenti[math]x[/math]
e [math]y[/math]
si dicono inversamente proporzionale se al raddoppiare, triplicare, etc. di [math]x[/math]
consegue la divisione di [math]y[/math]
per 2, 3, etc.Due grandezze sono inversamente proporzionali e quindi il loro prodotto si mantiene costante.
La legge di proporzionalità inversa è
[math]y = \frac{h}{x}[/math]
e il suo diagramma cartesiano - a differenza del precedente - non è una retta ma un'iperbole equilatera e presenta quindi asintoti coincidenti con gli assi. Anche in questo caso, consideriamo sull'asse delle
[math]x[/math]
la variabile dipendente e sull'asse delle [math]y[/math]
quella indipendente. Se aumentiamo il coefficiente di proporzionalità
[math]h[/math]
, il valore delle ordinate al crescere delle ascisse salirà: ciò significa che la pendenza della curva sarà maggiore. Se, invece, il coefficiente di proporzionalità diminuisce, il valore delle ordinate al crescere delle ascisse si abbasserà, determinando una curva meno pendente.
Esercizio: individua la legge di proporzionalità
Scopri, utilizzando questi dati sperimentali, se le due variabili sono collegate da una legge di proporzionalità diretta o inversa.Caso 1
[math]\begin{array}{|c|c|c|}
x & y \\
1 & 4 \\
2 & 8 \\
3 & 12 \\
4 & 16 \\
5 & 20
\end{array}[/math]
x & y \\
1 & 4 \\
2 & 8 \\
3 & 12 \\
4 & 16 \\
5 & 20
\end{array}[/math]
Caso 2
[math]\begin{array}{|c|c|c|}
1 & 12 \\
2 & 6 \\
3 & 4 \\
4 & 3 \\
6 & 2 \\
12 & 1
\end{array}[/math]
1 & 12 \\
2 & 6 \\
3 & 4 \\
4 & 3 \\
6 & 2 \\
12 & 1
\end{array}[/math]
Svolgimento commentato dell'esercizio precedente
Analizziamo il caso 1. Ricordiamo che - affinché le variabili siano legati da una proporzionalità diretta - il rapporto della variabile dipendente su quella indipendente deve essere un numero costante. Se, invece, è presente una proporzionalità inversa, ad essere costante è il prodotto tra i valori delle due variabili.Nel caso 1, il prodotto tra i valori delle due variabili sono i seguenti
[math]1\cdot 4=4, 2\cdot 8=16 \rightarrow 4 \neq 16[/math]
quindi già analizzando i primi due valori possiamo affermare con certezza che essi non sono direttamente proporzionali.Calcolando invece il rapporto tra le variabili si ha che
[math]\frac{4}{1}=4, \frac{8}{2}=4, \frac{12}{3}=4, \frac{16}{4}=4. \frac{20}{5}=4[/math]
. Tutte le operazioni danno come risultato [math]4[/math]
quindi i valori risultano direttamente proporzionali. Ciò significa che, qualora volessimo rappresentare il diagramma sul piano cartesiano, il risultato sarebbe una retta avente origine nell'origine degli assi e coefficiente angolare [math]4[/math]
.Passiamo al caso 2. Calcolando il rapporto tra le variabili si può notare che
[math]\frac{12}{1}=12,\frac{6}{2}=3 \rightarrow 12\neq 3[/math]
, quindi già dai primi due valori è possibile dire che la proporzionalità non è diretta.Moltiplicando le variabili abbiamo che
[math]12\cdot1=12, 2\cdot 6=12, 3\cdot 4=12, 4\cdot 3=12, 6\cdot 2=12, 12\cdot 1=12[/math]
. Tutte le operazioni danno come risultato [math]12[/math]
: per questo motivo la condizione di inversa proporzionalità è garantita.Per ulteriori approfondimenti sulla proporzionalità vedi anche qui
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