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In questo appunto si descrizione la trasformazione di una frazione. Eesistono diversi tipi di numeri e diversi insiemi numerici. Ad esempio, c'è l'insieme dei numeri naturali, che contiene i numeri 1, 2, 3, eccetera, quelli che vengono usati normalmente per contare le cose. Poi c'è l'insieme dei numeri interi, che comprende lo zero, tutti i numeri naturali e tutti i loro opposti, cioè i numeri negativi. E poi c'è l'insieme dei numeri razionali, che comprende tutte le frazioni.

Quello di cui si occupano questi appunti sono proprio le frazioni: in particolare, vedremo come trasformare una frazione in un numero decimale e viceversa, cioè come trasformare un numero decimale in frazione.

Trasformazione della frazione: formule e regole articolo

Indice

  1. Dalla frazione al numero decimale
  2. Dal numero decimale alla frazione
  3. Esercizi

Dalla frazione al numero decimale

L'obiettivo di questo paragrafo è quello di mostrare come trasformare una frazione in un numero decimale e quali sono le varie possibilità davanti alle quali possiamo trovarci quando facciamo questa operazione.

Innanzitutto, quando si vuole trasformare una frazione in un numero decimale, è fondamentale che la frazione sia ridotta ai minimi termini. Ricorda che, per ridurre ai minimi termini una frazione, occorre scomporre in fattori primi sia il numeratore che il denominatore e poi effettuare tutte le possibili semplificazioni.

Una volta che la frazione è ridotta ai minimi termini, possiamo procedere alla sua trasformazione in numero decimale.

L'operazione di per sé è abbastanza semplice: basta dividere il numeratore della frazione per il suo denominatore. Ci sono tre possibili eventualità che possono verificarsi:

Se il denominatore, nella sua scomposizione in fattori primi, possiede solo potenze di 2 e di 5, allora la frazione genererà un numero decimale limitato, cioè costituito da un numero finito di cifre dopo la virgola.

Per fare un esempio, pensiamo alla frazione

[math] \frac{7}{20} [/math]

. Scomponiamo il denominatore in fattori primi. Si ha:

[math] 20 = 2^2 \cdot 5 [/math]

E, in effetti, trasformando

[math] \frac{7}{20} [/math]

in numero decimale si ha

[math] 0,35 [/math]

.

Se il denominatore, nella sua scomposizione in fattori primi, non contiene né 2 né 5, ma solo fattori diversi da 2 e da 5, allora la frazione genererà un numero decimale periodico semplice. Il numero sarà cioè costituito da una parte intera e da una parte decimale, che è una cifra o un gruppo di cifre che si ripete all'infinito.

Possiamo pensare alla frazione

[math] \frac {1}{9} [/math]

. Nella scomposizione del suo denominatore non compaiono né 2 né 5. Infatti:

[math] 9 = 3^2[/math]

E, infatti, trasformando

[math] \frac {1}{9} [/math]

in numero decimale si ha:

[math] 0,111111 \dots [/math]

, nel quale le sei cifre che costituiscono il periodo si ripetono continuamente uguali.

Scriveremo:

[math] \frac {1}{9} = 0,\overline{1} [/math]

Se il denominatore, nella sua scomposizione in fattori primi, contiene come fattori sia il 2 o il 5 che altri numeri, allora la frazione genera un numero decimale periodico misto, costituito da una parte intera, una parte decimale che non si ripete, detta antiperiodo, e una parte decimale che si ripete sempre uguale, detta periodo.

A titolo di esempio, pensiamo alla frazione

[math] \frac{25}{12} [/math]

. Sappiamo che

[math] 12 = 2^2 \cdot 3 [/math]

, che quindi rispetta le condizioni elencate prima.

Facendo la divisione si ottiene:

[math] 25:12 = 2,0833333 \dots [/math]

, cioè

[math] 2,08 \overline{3} [/math]

Dal numero decimale alla frazione

In questo paragrafo compiremo il passaggio inverso rispetto al paragrafo precedente: la trasformazione di un numero decimale in una frazione equivalente.

Quando si vuole trasformare un numero decimale in una frazione, si dice che si sta cercando la frazione generatrice di quello stesso numero decimale. Anche in questo caso, dobbiamo distinguere dei casi, in base al tipo di numero decimale che abbiamo davanti.

Se il numero decimale è limitato, cioè se possiede un numero finito di cifre dopo la virgola, questo si trasformerà in una frazione avente al numeratore il numero stesso, scritto senza la virgola, e al denominatore il numero 1 seguito da tanti zeri quante erano le cifre dopo la virgola, nel numero decimale.

Per esempio, il numero

[math]32,244[/math]

diviene

[math] \frac{32244}{1000} [/math]

Se il numero decimale è periodico, allora esso si scriverà come un frazione che avrà:

  • al numeratore la differenza tra il numero decimale scritto per esteso, senza la virgola, e il numero formato da tutte le cifre che precedono il periodo, sia quelle intere che quelle decimali
  • al denominatore un numero formato da tanti 9 quante sono le cifre che compongono il periodo e tanti 0 quante sono le cifre che costituiscono l'antiperiodo

Per esempio, il numero

[math]13,66 \overline{4} [/math]

diviene

[math] \frac{13664-1366}{900}= \frac{12298}{900} [/math]

Per ulteriori approfondimenti sulle frazioni generatrici, vedi anche qua

Esercizi

Vediamo in questo paragrafo alcuni esercizi in cui mettere in pratica quanto studiato.

Dire se le seguenti frazioni generano un numero decimale finito, un numero decimale periodico semplice o un numero decimale periodico misto:

[math] \frac{1}{5}, \, \frac{11}{21}, \, \frac{4}{9}, \, \frac{13}{55}, \, \frac{19}{50} [/math]

Tutte le frazioni mostrate sono già ridotte ai minimi termini, per cui si tratta di scomporre in fattori primi i vari denominatori. Procediamo con ordine:

  • 5 è un numero primo, per cui
    [math] \frac{1}{5} [/math]
    si può trasformare in un numero decimale finito;
  • 21 è il prodotto di 3 e 7. Nessuno dei due fattori è pari a 2 oppure a 5, per cui
    [math] \frac{3}{7} [/math]
    si può trasformare in un numero decimale periodico semplice;
  • 9 è uguale a 3 elevato al quadrato. Anche in questo caso, nella scomposizione del denominatore, non compaiono né 2 né 5, per cui
    [math] \frac{4}{9} [/math]
    è un numero decimale periodico semplice;
  • 55 si può scrivere come prodotto dei fattori primi 5 e 11. C'è quindi la presenza di un 5 e di un numero diverso sia da 2 che da 5. Il numero decimale che rappresenta la frazione
    [math] \frac{13}{55} [/math]
    è quindi un numero decimale periodico misto;
  • Osservando la scomposizione di
    [math]50 = 2 \cdot 5^2 [/math]
    possiamo immediatamente concludere che la frazione
    [math] \frac{19}{50}[/math]
    si può trasformare in un numero decimale periodico misto[/math]

Trasformare in frazioni i seguenti numeri decimali:

Trasformazione della frazione: formule e regole articolo

[math] 3,31, \, 4,1\overline{5}, \, 12,99, \, 2,5 \overline{51}[/math]

Il numero

[math]3,31[/math]

non possiede una parte decimale periodica, per cui si può trasformare semplicemente nella frazione

[math] \frac{331}{100} [/math]

Il numero

[math]4,1\overline{5} [/math]

ha sia una parte di antiperiodo che di antiperiodo, quindi può trasformarsi nella frazione

[math] \frac{415-41}{90} = \frac{374}{90} [/math]

Il numero

[math]12,99[/math]

non ha né antiperiodo né periodo, quindi si trasforma facilmente in

[math] \frac{1299}{100} [/math]

Il numero

[math]2,5 \overline{51} [/math]

ha un antiperiodo costituito da una cifra (il 5) e un periodo costituito da due cifre (il 5 e l'1). Trasformandolo in frazione, si ottiene

[math] \frac{2551-25}{990} = \frac{2526}{990} [/math]

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