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Funzioni di proporzionalità diretta e inversa


Proporzionalità diretta

Iniziamo a costruire questa tabella e vediamo cosa la caratterizza:
[math]X \to Y \\
2 \to 10 \\
3 \to 15 \\
4 \to 20 \\
5 \to 25 \\
6 \to 30[/math]
.
Cosa si può notare da questa tabella? Che il rapporto tra Y ed X è sempre costante, infatti il rapporto è sempre 5. Verifichiamo:
[math]\frac{10}{2} = 5 \\
\frac{15}{3} = 5 \\
\frac{20}{4} = 5 \\
\frac{25}{5} = 5 \\
\frac{30}{6} = 5 \\[/math]
.
Dunque, generalizzando il tutto, si ha che: Date due variabili X e Y tali che il rapporto tra Y e X è costante, le variabili di dicono direttamente proporzionali. In simboli:
[math]\frac{Y}{X} = k[/math]
.
Di conseguenza, l'equazione della y nelle funzioni direttamente proporzionali è:
[math]y = kx[/math]
. In questo caso, dove k=4, l'espressione analitica è:
[math]y = 5x[/math]
.
Costruiamo il grafico e notiamo la sua particolarità:

Si può notare dal pallino grigio posto all'origine che la retta passa appunto per l'origine. Ed è proprio questa la particolarità delle funzioni direttamente proporzionali: il grafico è formato da una retta passante per l'origine.
Il loro dominio è tutto R.
.

Proporzionalità inversa

Osserviamo ora invece queste 2 tabelle:
[math]X \to Y \qquad \quad X \to Y \\
2 \to 1 \qquad -2 \to -1 \\
4 \to \frac{1}{2} \qquad -4 \to -\frac{1}{2} \\
6 \to \frac{1}{3} \qquad -6 \to -\frac{1}{3} \\
8 \to \frac{1}{4} \qquad -8 \to -\frac{1}{4} \\
10 \to \frac{1}{5} \qquad -10 \to -\frac{1}{5}[/math]
.
Cosa possiamo notare? Che in entrambe il prodotto tra X e Y è costante. Infatti sono entrambe della stessa funzione. Non starò di nuovo a dimostrare che il prodotto è costante. Vi basta calcolare X*Y in ogni caso per capire che il prodotto è 2.
Generalizziamo: Date due variabili X e Y tali che il prodotto di X per Y è costante, le variabili si dicono inversamente proporzionali. In simboli:
[math]X \cdot Y = k[/math]
.
Da qui si può ricavare la formula della y, che è:
[math]y = \frac{k}{x}[/math]
. In questo caso, dove k=2, l'espressione analitica sarà:
[math]y = \frac{2}{x}[/math]
.
Tracciamo il grafico e vediamo la sua particolarità. (PS: traccio il grafico di entrambe le tabelle, dato che sono della stessa funzione!)

Come si può notare, il grafico è formato da 2 curve posizionate l'una nel quadrante apposto all'altra. Questo tipo di grafico si chiama iperbole equilatera. Perciò, una funzione che ha un'iperbole equilatera come grafico è una funzione di proporzionalità inversa.
Quando si ha
[math]y = \frac{k}{x}, k>0[/math]
, le 2 curve saranno posizionate nel 1° e nel 3° quadrante. Quando si ha
[math]y = \frac{k}{x}, k<0[/math]
, le 2 curve saranno posizionate nel 2° e nel 4° quadrante.
Il dominio sarà l'insieme R escluso lo 0, infatti non esistono soluzioni per k/0.
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