Funzioni matematiche

DF FUNZIONE: dati due insiemi non vuoti A e B si definisce funzione o applicazione da A o B una qualsiasi relazione che ad ogni elemento di A fa corrispondere uno e un solo elemento di B (FUNZIONE UNIVOCA).
DF DIRICHLET=FUNZIONE NUMERICA: una variabile reale y è funzione di una variabile x in un dominio D с R se esiste una legge f che faccia corrispondere ad ogni x ϵ D uno e un solo valore di y (cioè y è la funzione reale della variabile reale x).
FUNZIONE MATEMATICA: la f rappresenta l’insieme o la sequenza delle operazioni matematiche che è necessario applicare sulla variabile x per ottenere il valore corrispondente della variabile y.
y=f(x) equazione o espressione analitica della funzione
DOMINIO DI UNA FUNZIONE: il dominio D di una funzione, se non indicato, è l’insieme dei valori che si possono attribuire alla variabile indipendente x in modo che esista il valore corrispondente alla variabile y.
GRAFICO/DIAGRAMMA DELLA FUNZIONE: è l’insieme dei punti del piano cartesiano aventi per ascissa valori di x appartenenti al dominio della funzione e per ordinata i valori corrispondenti alla variabile dipendente y. È il luogo dei punti del piano del tipo:
P(x;f(x)) con xϵD
FUNZIONE PARI: una funzione si dice pari se ꓯx ϵ D si verifica: f∞=f(-x) (punti con x opposta hanno la stessa y). Il grafico è simmetrico rispetto all’asse y.
FUNZIONE DISPARI: una funzione si definisce dispari se ꓯx ϵ D si verifica: f(x)=-f(-x). Grafico simmetrico rispetto a O.
FUNZIONI CRESCENTI:
IN SENSO STRETTO: si dice che la funzione è crescente in senso stretto nell’intervallo I se:
ꓯx1,x2ϵI x1f(x1) IN SENSO LATO: si dice che la funzione è crescente in senso lato nell’intervallo I se:
ꓯx1,x2ϵD x1f(x1)≤f(x2)
FUNZIONE DECRESCENTE:
IN SENSO STRETTO: si dice che la funzione è decrescete in senso stretto nell’intervallo I se:
ꓯx1,x2ϵI x1f(x1)>f(x2)
IN SENSO LATO: si dice che la funzione è decrescente in senso lato nell’intervallo I se:
ꓯx1,x2ϵI x1f(x1)≥f(x2)
CLASSIFICAZIONE DELLE FUNZIONI MATEMATICHE

 
ASINTOTI DI UNA FUNZIONE:
ASINTOTO ORIZZONTALE: condizione necessaria e sufficiente per l’esistenza dell’asintoto:
█(lim@x→∞)⁡〖 f(x)〗=l y=l

ASINTOTO VERTICALE: condizione necessaria e sufficiente per l’esistenza dell’asintoto:
█(lim@x→c)⁡〖 f(x)〗=∞ x=c

ASINTOTO OBLIQUO: condizione necessaria, ma non sufficiente per l’esistenza dell’asintoto
█(lim@x→∞)⁡〖 f(x)〗=∞
PUNTO DI FLESSO: data una funzione y=f(x) definita in un intervallo I e se esiste la derivata (finita o infinita9 in un punto x0 interno ad I si dice che x0 è un punto di flesso per la funzione f se esiste un intorno di x0 contenuto in I tale che nei due intorni sinistro e destro di x0 il grafico della funzione si da parti opposte rispetto alla tg del grafico della funzione nel punto x0. Nel punto di flesso il grafico della funzione ha un contatto tripunto con la retta tg (A≡F≡B).
FLESSO ASCENDETE: {█(f(x)≤t(x) perx-σ FLESSO DISCENDENTE: {█(f(x)≥t(x) per x0-σ FUNZIONE CONTINUA IN UN PUNTO c:
Deve esistere la funzione nel punto c f(c);
Deve essere finito il limite della funzione per x→c;
Il valore della funzione deve essere uguale al valore del limite: █(lim@x→c)⁡〖 f(x)〗=∞ x=c.
Una funzione è continua in un intervallo I se essa è continua in tutti i punti di tale intervallo. L’insieme di continuità di una funzione è l’insieme dei valori di x per i quali la funzione è continua. Nei casi più semplici l’insieme di continuità della funzione è continua. Nei casi più semplici l’insieme di continuità della funzione coincide con il dominio della funzione.
DERIVATA DI UNA FUNZIONE: una derivata di una funzione y=f(x) in un suo punto x0 è il limite, se esiste, del rapporto incrementale, al tendere a 0 dell’incremento dato dalla variabile indipendente x. Derivare una funzione in un punto significa calcolare la derivata in quel punto. Una funzione si dice derivabile in un punto ha derivata finita se il lim del rapporto incrementale è infinito non esiste la funzione f non è derivabile in x0.

CLASSIFICAZIONE DEI PUNTI DI DISCONTINUITÀ
PUNTO DI DISCONTINUITÀ DI PRIMA SPECIE: si dice che la funzione y=f(x) ha nel punto x=c un punto di discontinuità di prima specie se esistono e sono finiti ma diversi tra loro il limite destro e il limite sinistro della funzione per x=c, indipendentemente dall’esistenza della funzione f x→c;
█(lim@x→c^- )⁡〖 f(x)〗=l1 █(lim@x→c^+ )⁡〖 f(x)〗=l2 con l1≠l2
PUNTO DI DISCONTINUITÀ DI SECONDA SPECIE: si dice che la funzione y=f(x) ha nel punto x=c ha un punto di discontinuità di seconda specie se non esiste o non esiste finito almeno uno dei due limiti destro o sinistro della funzione per x→c;
PUNTO DI DISCONTINUITÀ DI TERZA SPECIE: si dice la funzione y=f(x) ha nel punto x=c ha un punto di discontinuità di terza specie se esiste ed è finito il limite della funzione per x→c, ma la funzione o non esiste in c o assume un valore diverso dal valore del limite.
PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI CONTINUE:
TEOREMA DI ESISTENZA DEGLI ZERI: data una funzione y=f(x) continua in un intervallo chiuso e limitato [a; b] se essa assume valori di segno opposto agli estremi allora esiste almeno un punto c, interno a [a; b] tale f(c)=0;
TEOREMA DI WEIERSTRASS: data una funzione y=f(x) continua in un intervallo chiuso e limitato [a; b], essa assume in tale intervallo un valore minimo e un valore massimo;
TEOREMA DI DARBOUX: data una funzione y=f(x) continua in un intervallo chiuso e limitato [a; b], essa assuma almeno una volta tutti i valori tra il minimo e il massimo.
TEOREMA DI LAGRANGE:
∃ c ϵ [a;b]|(f(b)-f(a))/(b-a)=f'(c)┤ TEOREMA 1: se una funzione è continua in un intervallo I e ha derivata nulla in tutti punti interni di I, essa è costante in quell’intervallo;
TEOREMA 2: se due funzioni f(x) e g(x) continue in un intervallo I, hanno derivate uguali in tutti i punti interni di I, esse differiscono per una costante.
FUNZIONI DERIVABILI CRESCENTI E DECRESCENTI
Si ricorda che, si dice che la funzione f è strettamente crescente in I, o semplicemente crescente in I se:
ꓯx1,x2 ϵ I x1 La funzione f si dice invece strettamente decrescente in I o semplicemente decrescente in I se:
ꓯx1,x2 ϵ I x1f(x2)