Strumenti della matematica: tabelle, grafi e insiemi

In questo appunto vengono descritti e analizzati alcuni strumenti usati in matematica, in particolare le tabelle, i grafi e gli insiemi (con un piccolo approfondimento sulla rappresentazione degli insiemi).

La matematica si basa principalmente sull’utilizzo di numeri e sulle operazioni che è possibile eseguire tra di essi però la matematica non fa uso esclusivamente di numeri, esistono infatti alcuni simboli o grafi che possiedono un preciso significato; esistono inoltre alcuni strumenti che permettono di comprendere meglio alcuni concetti e che in alcuni casi permettono di descrivere meglio la realtà che ci circonda.

Strumenti della matematica: Le tabelle

Le tabelle vengono usate per dare informazioni e possono essere utilizzare per schematizzare al meglio e in modo ordinato un una situazione o un problema.
Un tipo di tabella molto utilizzato è la tabella a doppia entrata: tale tabella consiste in una griglia in cui si inserisce una caratteristica nella prima riga e un’altra caratteristica nella prima colonna. La tabella viene riempita eseguendo le varie combinazioni tra gli elementi della prima riga e quelli della prima colonna; tale tipo di tabella è molto utile perché permette di coprire tutte le possibili combinazioni tra gli elementi di partenza.
Un esempio di tabella a doppia entrata è la tabella della moltiplicazione che consiste nell’inserire dei numeri nella prima riga e dei numeri nella prima colonna, si incrocia un elemento della prima riga con un elemento della prima colonna, si esegue la moltiplicazione e si inserisce il numero nella cella corrispondente.
Utilizzando la tabella della moltiplicazione è possibile ricavare le seguenti informazioni: la moltiplicazione è sempre possibile; la moltiplicazione ha la proprietà commutativa.
Per ulteriori approfondimenti sulla proprietà commutativa vedi anche qua.

Strumenti della matematica: I grafi

Il grafo è la rappresentazione simbolica di una relazione che contiene informazioni.
Una relazione è il collegamento tra 2 o più elementi.
Se si considera come relazione l’uguaglianza tra due elementi, il simbolo corrispondente è “=”, se invece si considera come relazione la somma di due elementi, il grafo corrispondente è il simbolo “+”; se si combinano i simboli corrispondenti alle operazioni e il simbolo di uguaglianza si ottiene un’espressione nella quale i vari elementi (numeri) sono messi in relazione tra loro.
In seguito sono riportati esempi di grafi; il grafo è composto da:

Un punto
. = Nodo o vertice

Una linea
______

Uma freccia (o di più)
----->
Che insieme alla linea collega i punti.
La freccia deve avere un significato e i punti (.) devono avere un nome.

Esempio:
-4
20. -------> .16
in questo caso il significato della freccia è -4.
E i nomi dei due punti sono 20 e 16.

La matematica non fa uso solo di numeri ma molto spesso fa uso di lettere, le lettere servono per indicare un elemento o un valore generico.
Per esempio se si vuole indicare un numero generico si può associare tale numero ad una lettera, per esempio la lettera “x” (per lettere associate ad un numero vengono in genere utilizzate lettere minuscole).
Si può quindi dire che “venduto un numero x di mele, il fruttivendolo ha guadagnato y soldi”.
Le lettere vengono utilizzate molto spesso in aritmetica ma anche in geometria.
Molto spesso è utile dare dei nomi a degli elementi di una figura e per fare ciò si utilizzano le lettere maiuscole.

Strumenti della matematica: Gli insiemi

In molti casi, soprattutto quando si considerano un gran numero di elementi, è utile raggruppare tali oggetti in gruppi, chiamati proprio insiemi.
Gli insiemi sono un raggruppamento di elementi caratterizzati dall’avere una caratteristica in comune, ad esempio si può considerare l’insieme dei numeri pari, l’insieme dei numeri dispari o l’insieme di tutti i numeri.
Gli insiemi si possono rappresentare in diversi modi:

• In forma grafica attraverso i diagrammi di Eulero-Venn = gli elementi sono racchiusi in una linea curva chiusa; gli elementi che fanno parte dell’insieme si trovano all’interno della curva chiusa mentre quelli che non appartengono all’insieme perché non soddisfano al caratteristica dell’insieme si trovano fuori dalla linea chiusa.
• In forma tabulare o per elencazione = Quando gli elementi sono elencati tra due graffe e divisi dal punto e virgola (;).
  Se consideriamo l’insieme dei numeri dispari questo può essere rappresentato come:
  A={1;3;5;7;9;11;13;…}
• Per caratteristica = quando viene indicata la proprietà che caratterizza gli elementi.
  Se consideriamo ancora l’insieme dei numeri dispari questo può essere rappresentato nel seguente modo:
  A={a|a è un numero dispari}

Si può notare come gli insiemi sono rappresentati da una lettera maiuscola mentre gli elementi (gli oggetti che fanno parte dell’insieme) sono rappresentati con una lettera minuscola.

Gli insiemi possono avere caratteristiche molto diverse, possono contenere pochi elementi o possono contenere un numero infinito di elementi (come nel caso dei numeri dispari), possono contenere qualsiasi tipo di elemento (numeri, colori, oggetti, persone); se si considerano più insiemi questi possono avere molti elementi in comune o nessun elemento in comune.

Per ulteriori approfondimenti sugli insiemi e sulle operazioni tra insiemi vedi anche qua