Quali sono i principali prodotti notevoli e come si calcolano

In quest'appunto troverai delle informazioni riguardanti lo svolgimento dei principali prodotti notevoli con annessi esempi

I prodotti notevoli

Quando si devono risolvere delle equazioni, conoscere i prodotti notevoli può essere di grande aiuto.

Essi non sono altro che formule che consentono di scrivere in altri termini alcuni prodotti e potenze tra polinomi, definiti appunto notevoli.

In questo appunto verranno spiegati i seguenti prodotti notevoli:

• il prodotto tra una somma di due monomi e la loro differenza
• il quadrato di un binomio, ossia il quadrato di un polinomio formato dalla somma algebrica di due monomi non simili
• il cubo di un binomio

Come si svolge il prodotto notevole somma per differenza

Consideriamo la seguente scrittura:

Notiamo che questa è una moltiplicazione tra due binomi.

Nel primo binomio si hanno due monomi,

e

, a cui si applica l'addizione. Nel secondo binomio, invece, gli stessi monomi sono coinvolti in una sottrazione.
Dunque, verbalmente, ci troviamo di fronte a l'addizione di due monomi per la sottrazione dei monomi stessi, ovvero somma per differenza.

Per calcolare la somma per differenza esiste una precisa regola. Esso, infatti, corrisponde alquadrato del primo termine

In termini matematici possiamo scrivere che:

Scomponiamo ora la scrittura.
La moltiplicazione tra due polinomi si svolge moltiplicando ciascun termine del primo polinomio per ciascun termine del secondo polinomio (tenendo conto dei segni

o

), quindi:

Quindi ora eseguiamo le varie moltiplicazioni:

Sappiamo che monomi opposti, sommati, si annullano, quindi semplifichiamo:

Ecco quindi il risultato finale.

Esempio svolto: somma per differenza

Risolviamo un esempio di esercizio.

Come si svolge il prodotto notevole quadrato di binomio

Consideriamo la seguente scrittura:

Notiamo che vi è un binomio elevato alla seconda, quindi, al quadrato.
Anche in questo caso esiste una precisa regola per trovare il quadrato di un binomio, infatti esso corrisponde al quadrato del primo termine

più il doppio prodotto del primo termine

per il secondo termine

più il quadrato del secondo termine

.

Utilizzando termini matematici si ha che:

Scomponiamo ora la scrittura.
Un polinomio elevato al quadrato è una moltiplicazione del polinomio per il polinomio stesso, quindi:

Notiamo ora che ci siamo ricondotti al caso precedente della somma per differenza, però con tutti i numeri positivi.
Dunque eseguiamo lo stesso procedimento di prima:

Quindi ora eseguiamo le varie moltiplicazioni:

Sappiamo che monomi simili, sommati, raddoppiano la parte numerica, quindi semplifichiamo:

Ecco quindi il risultato finale.

Risolviamo un esempio di esercizio.

Risolviamo ora un esempio di esercizio con numeri negativi e con lettere con esponente.

Come si svolge il prodotto notevole cubo di binomio

Consideriamo la seguente scrittura:

Notiamo che è presente un binomio elevato alla terza, quindi, al cubo.
Esiste una precisa regola per trovare il cubo di un binomio, la quale afferma che esso corrisponde al
cubo del primo termine

più il triplo prodotto del quadrato del primo termine

per il secondo termine

più il triplo prodotto del primo termine

per il quadrato del secondo termine

più il cubo del secondo termine

.

In termini matematici possiamo dire che:

Scomponiamo ora la scrittura.
Un polinomio elevato al cubo è nientemeno che un prodotto tra tre polinomi uguali, quindi:

Notiamo ora che ci siamo ricondotti al caso precedente del quadrato di un binomio, però ripetuto 3 volte invece di 2.
Dunque eseguiamo la moltiplicazione tra i primi due binomi (conoscendo la regola del quadrato di un binomio) e poi moltiplichiamo il risultato ancora una volta per il terzo binomio:

Moltiplichiamo quindi il risultato per l'ultimo binomio:

Sappiamo che monomi simili, sommati, raddoppiano la parte numerica, quindi semplifichiamo:

Ecco quindi il risultato finale.
Risolviamo un esempio di esercizio.

Esempio svolto 1: il cubo di un binomio

Esempio svolto 2: il cubo di un binomio

Risolviamo ora un esempio di esercizio con numeri negativi e con lettere con esponente.

Eccovi spiegati i prodotti notevoli di base.
Buono studio!

Per ulteriori approfondimenti sui prodotti notevoli vedi anche qui