Moto rotatorio: definizione e formule caratteristiche

Questo appunto di Fisica tratta lo studio del moto rotatorio di punti materiali e di corpi rigidi assimilabili ad un punto materiale attraverso le grandezze cinematiche fondamentali che lo descrivono e le cause che generano e caratterizzano un tale moto, ossia la forza centripeta e la forza centrifuga.

Definizione di moto rotatorio

Qualsiasi punto materiale che si muove su di una traiettoria diversa da una retta compie un moto rotatorio, ossia ogni qualvolta la traiettoria è costituita da una qualsiasi linea curva, le caratteristiche del moto possono essere descritte tramite quelle di un moto rotazionale.
Il caso di moto rotatorio più semplice è quello del moto circolare uniforme: si pensi, ad esempio, ad un disco fonografico a 33giri.

Se immaginiamo tale disco grammofonico come formato da tantissime (infinite) circonferenze concentriche, si nota che ogni punto che si muove su ogni circonferenza, da quella con raggio minore (punto più vicino al centro) a quella con raggio maggiore (punto all’estremo opposto del raggio), in un minuto, compie 33 giri.
Questo comporta che tutti i punti (dal più vicino al più distante dal centro) devono avere velocità diverse affinché possano percorrere spazi diversi in tempi uguali ed in particolare vedremo che tale velocità deve essere crescente spostandosi dalla circonferenza con raggio minore a quella con raggio maggiore.

Grandezze caratteristiche cinematiche del moto rotatorio

Le grandezze cinematiche che caratterizzano il moto rotatorio sono:

• velocità tangenziale, vt
• velocità angolare, ω
• accelerazione centripeta, ac

La velocità tangenziale è quel vettore il cui modulo viene calcolato con la classica formula usato per il calcolo della velocità media ossia

[m/s]
dove
Δs = lunghezza della traiettoria percorsa
Δt = intervallo di tempo in cui viene percorsa Δs
La direzione della velocità tangenziale è la retta tangente alla traiettoria curvilinea in ogni suo punto.
Il verso è sempre concorde con quello del moto.
Nel caso particolare del moto circolare uniforme, dove la traiettoria è costituita da una circonferenza, la velocità tangenziale è data da:

[m/s]
dove
Δs = 2πR = lunghezza della circonferenza di raggio R
Δt = T = periodo del moto
Il periodo del moto è il tempo necessario al punto materiale per compiere un giro completo.
La sua direzione è tangente ad ogni punto della circonferenza ed il verso è quello del moto.
Nel moto circolare uniforme la velocità tangenziale è costante soltanto in modulo, mentre sia la sua direzione che il suo verso variano continuamente man mano che il punto si sposta sulla circonferenza.
E’ palese che il modulo della velocità tangenziale, poiché dipende dal raggio della circonferenza, aumenta man mano che ci si allontana dal centro (ossia aumenta col raggio). Nel centro della circonferenza la velocità tangenziale viene assunta pari a zero.
Questa caratteristica può essere estesa anche al moto rotatorio in senso più generale. Infatti se il punto si allontana dal centro di rotazione, per percorrere archi di lunghezze diverse in tempi uguali, la velocità varia proporzionalmente alla distanza dal centro stesso di rotazione. Quindi più ci si allontana dal centro di rotazione, maggiore deve essere la velocità mantenuta dal punto materiale se vogliamo che nello stesso intervallo di tempo vengano percorsi spazi diversi.
La velocità angolare è anch’essa un vettore, ma per i fini del nostro studio ci limiteremo a considerare solo il suo modulo.
Il concetto di questa grandezza è riconducibile a quello di velocità lineare, in quanto anche in questo caso si tratta di quantificare il rapporto fra la variazione della posizione ed il tempo impiegato per tale variazione, con l’eccezione che lo spazio percorso, non sono linee, ma angoli.
Definiamo la velocità angolare come

[rad/s] (radianti al secondo)
Δα = αf - αi
αf = angolo nella posizione finale
αi = angolo nella posizione iniziale
Δα = variazione dell’angolo al centro di rotazione spazzato dal punto materiale
Δt = intervallo di tempo in cui avviene la variazione Δα
Tale grandezza quantifica la rotazione del punto materiale rispetto al centro di rotazione.
Nel caso del moto circolare uniforme, la velocità angolare viene espressa da

dove 2π si riferisce all’angolo giro
ω è costante.
Velocità tangenziale e velocità angolare sono due grandezze legate fra loro.
Infatti, sapendo che

si ottiene che

L’accelerazione centripeta è una grandezza vettoriale caratteristica di ogni moto rotatorio, presente ogni qualvolta la traiettoria non è rettilinea.
Il suo modulo è dato da:
ac = ((vt)^2)/ρ [m/s^2]
rapporto della velocità tangenziale alla seconda ed il raggio di curvatura, ρ, della traiettoria.
La sua direzione è quella radiale, ossia quella del raggio della circonferenza che meglio approssima la curva nel punto del moto.
Il verso è sempre diretto verso il centro di rotazione, che in un moto rotatorio qualunque, varia istante per istante.
Nel caso particolare del moto circolare uniforme

dove il raggio di curvatura coincide col raggio della circonferenza su cui avviene il moto ed il centro di rotazione è fisso e coincide col centro della circonferenza.
Tale grandezza è legata anche alla velocità angolare nel seguente modo:

In generale le grandezze cinematiche caratteristiche del moto rotatorio possono variare nel tempo.
Se varia la velocità tangenziale nel tempo, si avrà anche l’accelerazione tangenziale che calcoleremo come:

[m/s^2]
la cui direzione sarà tangente alla curva che individua la traiettoria ed il cui verso sarà concorde col moto del punto materiale se la velocità tangenziale aumenta e discorde in caso contrario.
Se varia la velocità angolare, avremo l’insorgere dell’accelerazione angolare che calcoleremo come:

[rad/s^2]

Forza centripeta

La forza centripeta è una grandezza vettoriale fondamentale per ottenere un moto rotatorio o su traiettoria curvilinea.
Quando il moto di un punto materiale (o di un corpo rigido ad esso assimilabile) avviene su di una traiettoria curvilinea, questo subisce una forza centripeta (ed una centrifuga), conseguenza dell’accelerazione centripeta definita sopra e necessaria per mantenere una traiettoria curvilinea.
Essendo una forza la descriveremo come un vettore.
Per il Secondo Principio della Dinamica possiamo esprimere il modulo di tale forza come segue:

[N]
Tale forza dipende da:

• massa del punto materiale
• velocità tangenziale al quadrato
• distanza dal centro di rotazione

Fc aumenterà all’aumentare della massa del punto materiale e della velocità tangenziale, mentre diminuirà con l’aumentare del raggio di curvatura.
Nel caso particolare di moto circolare uniforme, possiamo esprimere tale modulo come:

La direzione della forza centripeta sarà sempre radiale ed il suo verso diretto sempre verso il centro di rotazione.

Forza centrifuga

La forza centrifuga si genera automaticamente ogni qualvolta si ha un moto curvilineo. Tale grandezza viene definita come una forza apparente poiché il punto materiale che sta percorrendo la traiettoria curvilinea costituisce un sistema di riferimento non inerziale.
Le caratteristiche della forza centrifuga, analizzata come grandezza vettoriale, sono le seguenti:
il modulo dipende dalla velocità al quadrato del punto materiale, dalla massa di quest’ultimo e dal raggio di curvatura della traiettoria; la direzione è radiale; il verso è opposto a quello della forza centripeta.
Tale forza è uguale ed opposta alla forza centripeta quando il punto materiale che percorre la linea curva riesce a mantenere la traiettoria prestabilita dalla curva stessa. In questo caso le due forze si uguagliano.
Consideriamo un semplice esempio.
Analizziamo il moto di un’auto che affronta una curva. L’esperienza ci insegna che durante la curva avvertiamo una forza che tende a spingerci verso l’esterno della curva stessa. Se tale forza centrifuga supera la forza centripeta agente sull’auto (realizzata tramite attrito o una particolare pendenza della strada come nei circuiti per alte velocità velocità), l’auto va fuori strada, ossia segue la traiettoria centrifuga che la porta ad allontanarsi indefinitamente dal centro di rotazione. Finché la forza centrifuga viene equilibrata da quella centripeta, l’auto riesce a mantenere la traiettoria prestabilita. Nel momento in cui la traiettoria torna ad essere rettilinea, tali forze cessano di esistere.
Un altro esempio può essere costituito da un punto materiale che viene mantenuto in moto circolare uniforme mediante una fune che lo collega al centro di rotazione: la fune esercita la forza centripeta che mantiene il punto materiale in moto circolare. Se tagliassimo improvvisamente la fune (durante il moto), il punto materiale si muoverebbe verso l’esterno (tangenzialmente) a causa della forza centrifuga (che fino a prima del taglio era equilibrata dalla forza centripeta).
In conclusione un moto rotatorio viene generato da una forza centripeta che può essere costante o variabile a seconda delle caratteristiche del moto. A tale forza centripeta corrisponde una forza centrifuga.
Queste due forze sono legate a grandezze cinematiche quali la velocità tangenziale, la velocità angolare e l’accelerazione centripeta che possono essere costanti o variabili. Nel caso in cui siano variabili ad esse vanno ad aggiungersi l’accelerazione angolare e l’accelerazione tangenziale.
Si ricorda che tutte le unità di misura riportate nel seguente appunto sono riferite al Sistema Internazionale SI

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