Concetti Chiave
- Una pallina di massa m ruota attorno a un asse verticale con velocità angolare ω costante, trattenuta da un filo inestensibile di lunghezza L.
- La relazione tra l'angolo θ e la velocità angolare ω è determinata tramite l'accelerazione centripeta e le forze in gioco.
- L'accelerazione centripeta è espressa come ac = ω²r, con r uguale alla distanza tra la palla e l'asse di rotazione.
- La tensione T è composta dalle forze mac e mg, che formano un triangolo rettangolo con T come ipotenusa.
- La formula finale ottenuta per ω in funzione di θ è ω(θ) = √(g/(Lcosθ)).
{etRating 3}Una pallina di massa
[math]m[/math]
ruota attorno ad un asse verticale con velocità angolare [math]omega[/math]
costante trattenuta da un filo inestensibile di lunghezza [math]L[/math]
Sia [math] heta[/math]
l'angolo evidenziato in figura. Trovare la relazione [math]omega( heta)[/math]
che lega l'angolo [math] heta[/math]
alla velocità angolare [math]omega[/math]
. Chiamiamo
[math]a_c[/math]
l'accelerazione centripeta. Uno dei tanti modi di esprimere l'accelerazione centripeta è questo [math]a_c=omega^2r[/math]
(1) Nel nostro caso [math]r[/math]
è la distanza tra la palla e l'asse di rotazione La tensione [math]T[/math]
si compone di due forze: [math]ma_c[/math]
e [math]mg[/math]
, ovvero i cateti del triangolo rettangolo avente [math]T[/math]
(i tre vettori formano un triangolo rettangolo). Per un noto teorema dei triangoli rettangoli, vale [math]ma_c=mg \cdot \\tan heta\implies a_c=g \cdot \\tan heta[/math]
(2) Per un altro teorema riguardante i triangoli rettangoli, vale [math]r=L\\sin heta[/math]
(3) Sostituendo (3) e (2) nella (1) ottengo [math]g \cdot \\tan heta=omega^2L\\sin heta[/math]
da cui, sapendo che [math]\\sin heta/(\\tan heta)=\\cos heta[/math]
e isolando [math]omega^2[/math]
a secondo membro ho, dopo due conti, [math]omega( heta)=\sqrt{g/(L\\cos heta)[/math} FINE
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