Giocatore di basket, moto parabolico.

Un giocatore di basket altro 2 metri è fermo sul campo da gioco a 10 metri dal canestro,quest'ultimo alto 3,05 metri. Se egli lancia la palla con un angolo di 40° rispetto all'orizzontale,...

_Steven
di _Steven
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Concetti Chiave

  • Il problema riguarda il calcolo della velocità iniziale necessaria per un tiro di basket da una distanza di 10 metri, con un angolo di lancio di 40°.
  • Viene utilizzato un sistema di equazioni per descrivere il moto orizzontale e verticale della palla, combinando moto rettilineo uniforme e uniformemente accelerato.
  • La traiettoria della palla è modellata da un'equazione parabolica, con l'origine nel punto di lancio e il vertice nel quadrante del canestro.
  • La componente della velocità viene espressa in termini di velocità iniziale e angolo di lancio, riducendo le incognite a una sola variabile, la velocità.
  • Imponendo che la traiettoria passi per il canestro, si ottiene una velocità iniziale di 10,65 m/s, a condizione che il canestro si trovi sotto la tangente alla parabola.

Un giocatore di basket altro

[math]2[/math]
metri è fermo sul campo da gioco a
[math]10[/math]
metri dal canestro, quest'ultimo alto
[math]3,05[/math]
metri. Se egli lancia la palla con un angolo di
[math]40°[/math]
rispetto all'orizzontale, quale dovrebbe essere la velocità  inziale del lancio per centrare il canestro senza colpire il tabellone?

Procediamo in questo modo: le equazioni che descrivono il moto orizzontale e verticale nel sistema di riferimento più conveniente (ovvero origine nella mano del lancitore e canestro nel punto

[math]P=(x_0, y_0)=(10m, 1,05m)[/math]
) sono:
[math]x=v_x t[/math]

[math]y=v_y t - (\frac{1}{2}) g t^2[/math]

Ossia un moto rettilineo uniforme combinato con uno uniformemente accelerato. Questo è un sistema di 2 equazioni legate da un parametro comune, il tempo.
Se lo si esplicita in una delle 2 e lo si sostituisce nell'altra, si ottiene l'andamento della y in funzione della x, ossia della traiettoria del moto.
Dopo aver ricavato il tempo dalla prima e aver sostituito nella seconda, si giunge con qualche conto a

[math]y=\frac{v_y}{v_x} x - (\frac{1}{2}) \frac{g}{({v_x})^2} x^2[/math]
che è l'equazione di una parabola passante per l'origine (mano del lanciatore), concavità  verso il basso e con il vertice nel quadrante del canestro se
[math]v_x[/math]
e
[math]v_y[/math]
sono entrambe positive.
Ora noi non convine tenere
[math]v_x[/math]
e
[math]v_y[/math]
, perchè il problema dice che la palla parte con un angolo di
[math]40°[/math]
, quindi se chiamiamo
[math]v[/math]
il modulo della velocità , avremo
[math]v_x = v \cos \alpha[/math]
e
[math]v_y = v \sin \alpha[/math]
.
Quindi sostituendo anche questo nella formula della traiettoria di prima, vediamo che le 2 incognite
[math]v_x[/math]
e
[math]v_y[/math]
si riducono solo all'incognita
[math]v[/math]
:
[math]y = - \frac{g}{2 v^2 (\cos \alpha)^2} x^2 + \tan \alpha x[/math]
A questo punto imponiamo che la traiettoria debba passare per il canestro, ovvero sostituisci
[math]y = y_0[/math]
e
[math]x=x_0[/math]
e poi ricaviamo l'unica incognita che è la velocità .
Esplicitando la velocità  e sostituendo appunto le coordinate
[math]y = y_0[/math]
e
[math]x=x_0[/math]
, si ha
[math]v^2 = - \frac{g (x_0)^2}{(y_0 - \tan \alpha x_0) 2 (\cos \alpha)^2}[/math]

e mettendo dentro i dati forniti, ovvero

[math]\alpha=40°, x_0=10m, y_0=1,05m[/math]
e poi facendo la radice quadrata, otteniamo
[math]10,65 m/s[/math]
.

Notiamo che l'estrazione di radice non è possibile se il membro di destra è negativo e quindi se la parentesi al denominatore è maggiore di 0.
Dovrà  quindi valere

[math]y_0 \leq \tan \alpha x_0[/math]
, ossia, fissato alfa, il canestro può trovarsi solo sotto alla tangente alla parabola nella mano. E ciò è ragionevolissimo, se ci si sofferma ad immaginare la scena.

FINE

Domande da interrogazione

  1. Qual è l'altezza del canestro rispetto al giocatore?

    2. Il canestro è alto 3,05 metri, mentre il giocatore è alto 2 metri, quindi il canestro si trova 1,05 metri sopra la testa del giocatore.

  2. Quali equazioni descrivono il moto della palla?

    3. Il moto della palla è descritto da due equazioni: [math]x=v_x t[/math] per il moto orizzontale e [math]y=v_y t - (\frac{1}{2}) g t^2[/math] per il moto verticale.

  3. Come si calcola la velocità iniziale necessaria per centrare il canestro?

    4. La velocità iniziale [math]v[/math] si calcola usando l'equazione [math]v^2 = - \frac{g (x_0)^2}{(y_0 - \tan \alpha x_0) 2 (\cos \alpha)^2}[/math], sostituendo i valori dati e risolvendo per [math]v[/math].

  4. Qual è la velocità iniziale necessaria per centrare il canestro?

    5. La velocità iniziale necessaria per centrare il canestro senza colpire il tabellone è di [math]10,65 m/s[/math].

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