Giocatore di basket: moto parabolico

Esercizio sul moto parabolico relativo ad un giocatore di basket che lancia un pallone con una certa inclinazione.

_Steven
di _Steven
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Concetti Chiave

  • Il problema riguarda il calcolo della velocità iniziale necessaria per un tiro di basket da una distanza di 10 metri, con un angolo di lancio di 40°.
  • Viene utilizzato un sistema di equazioni per descrivere il moto orizzontale e verticale della palla, combinando moto rettilineo uniforme e uniformemente accelerato.
  • La traiettoria della palla è modellata da un'equazione parabolica, con l'origine nel punto di lancio e il vertice nel quadrante del canestro.
  • La componente della velocità viene espressa in termini di velocità iniziale e angolo di lancio, riducendo le incognite a una sola variabile, la velocità.
  • Imponendo che la traiettoria passi per il canestro, si ottiene una velocità iniziale di 10,65 m/s, a condizione che il canestro si trovi sotto la tangente alla parabola.

Quando parliamo di moto parabolico, si fa riferimento ad un moto che in realtà è dato dalla somma di due moti.
Il primo moto è quello associato all'accelerazione di gravità ed è verticale ed uniformemente accelerato.
Il secondo è orizzontale ed è rettilineo uniforme, dovuto alla velocità iniziale (che ha una componente orizzontale la quale rimane costante trascurando gli attriti).
Vediamo un esercizio di esempio.

Indice

  1. Testo dell'esercizio
  2. Soluzione dell'esercizio

Testo dell'esercizio

Un giocatore di basket altro
[math]2[/math]
metri è fermo sul campo da gioco a
[math]10[/math]
metri dal canestro, quest'ultimo alto
[math]3,05[/math]
metri. Se egli lancia la palla con un angolo di
[math]40°[/math]
rispetto all'orizzontale, quale dovrebbe essere la velocità iniziale del lancio per centrare il canestro senza colpire il tabellone?

Soluzione dell'esercizio

Procediamo in questo modo: le equazioni che descrivono il moto orizzontale e verticale nel sistema di riferimento più conveniente (ovvero origine nella mano del lanciatore e canestro nel punto
[math]P=(x_0, y_0)=(10m, 1,05m)[/math]
) sono:

[math]x=v_x t[/math]
[math]y=v_y t - (\frac{1}{2}) g t^2[/math]

Ossia un moto rettilineo uniforme combinato con uno uniformemente accelerato. Questo è un sistema di 2 equazioni legate da un parametro comune, il tempo.
Se lo si esplicita in una delle 2 e lo si sostituisce nell'altra, si ottiene l'andamento della y in funzione della x, ossia della traiettoria del moto.
Dopo aver ricavato il tempo dalla prima e aver sostituito nella seconda, si giunge con qualche conto a:

[math]y=\frac{v_y}{v_x} x - (\frac{1}{2}) \frac{g}{({v_x})^2} x^2[/math]
che è l'equazione di una parabola passante per l'origine (mano del lanciatore), concavità verso il basso e con il vertice nel quadrante del canestro se
[math]v_x[/math]
e
[math]v_y[/math]
sono entrambe positive.

Ora, a noi non conviene tenere

[math]v_x[/math]
e
[math]v_y[/math]
, perché il problema dice che la palla parte con un angolo di
[math]40°[/math]
, quindi se chiamiamo
[math]v[/math]
il modulo della velocità , avremo
[math]v_x = v \cos \alpha[/math]
e
[math]v_y = v \sin \alpha[/math]
.
Quindi sostituendo anche questo nella formula della traiettoria di prima, vediamo che le 2 incognite
[math]v_x[/math]
e
[math]v_y[/math]
si riducono solo all'incognita
[math]v[/math]
:

[math]y = - \frac{g}{2 v^2 (\cos \alpha)^2} x^2 + \tan \alpha x[/math]
A questo punto imponiamo che la traiettoria debba passare per il canestro, ovvero sostituisci
[math]y = y_0[/math]
e
[math]x=x_0[/math]
e poi ricaviamo l'unica incognita che è la velocità .
Esplicitando la velocità  e sostituendo appunto le coordinate
[math]y = y_0[/math]
e
[math]x=x_0[/math]
, si ha
[math]v^2 = - \frac{g (x_0)^2}{(y_0 - \tan \alpha x_0) 2 (\cos \alpha)^2}[/math]

e mettendo dentro i dati forniti, ovvero

[math]\alpha=40°, x_0=10m, y_0=1,05m[/math]
e poi facendo la radice quadrata, otteniamo
[math]10,65 m/s[/math]
.

Notiamo che l'estrazione di radice non è possibile se il membro di destra è negativo e quindi se la parentesi al denominatore è maggiore di 0.
Dovrà  quindi valere

[math]y_0 \leq \tan \alpha x_0[/math]
, ossia, fissato alfa, il canestro può trovarsi solo sotto alla tangente alla parabola nella mano.
E ciò è ragionevolissimo, se ci si sofferma ad immaginare la scena.

Domande da interrogazione

  1. Qual è l'altezza del canestro rispetto al giocatore?

    2. Il canestro è alto 3,05 metri, mentre il giocatore è alto 2 metri, quindi il canestro si trova 1,05 metri sopra la testa del giocatore.

  2. Quali equazioni descrivono il moto della palla?

    3. Il moto della palla è descritto da due equazioni: [math]x=v_x t[/math] per il moto orizzontale e [math]y=v_y t - (\frac{1}{2}) g t^2[/math] per il moto verticale.

  3. Come si calcola la velocità iniziale necessaria per centrare il canestro?

    4. La velocità iniziale [math]v[/math] si calcola usando l'equazione [math]v^2 = - \frac{g (x_0)^2}{(y_0 - \tan \alpha x_0) 2 (\cos \alpha)^2}[/math], sostituendo i valori dati e risolvendo per [math]v[/math].

  4. Qual è la velocità iniziale necessaria per centrare il canestro?

    5. La velocità iniziale necessaria per centrare il canestro senza colpire il tabellone è di [math]10,65 m/s[/math].

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