Circuiti in regime variabile e corrente alternata

Circuiti in regime variabile e corrente alternata

Il regime variabile si ha quando la corrente varia nel tempo. Si distinguono due casi principali:
• Regime con carattere transitorio: si tratta di un circuito contenente un condensatore o un induttore. Dopo un certo intervallo di tempo, l'intensità della corrente diventa costante (o di regime).
• Regime variabile periodico: si verifica nei circuiti alimentati da un alternatore (generatore di tensione variabile) in cui la corrente varia in modo periodico.
Dato che le grandezze nel circuito variano nel tempo, il sistema viene descritto mediante equazioni differenziali, espresse da una relazione tra la funzione incognita e le sue derivate.

Il Circuito RC

• In fase di carica: condensatore inizialmente vuoto collegato a un generatore di tensione continua.
• In fase di scarica: condensatore inizialmente carico che si scarica su una resistenza.

Fase di carica

Consideriamo un circuito composto da una resistenza, un condensatore scarico e un generatore di tensione con forza elettromotrice f. Quando l'interruttore viene chiuso, inizia a circolare corrente e il condensatore si carica. Le differenze di potenziale ai capi dei componenti sono: VR = -R · i ,nelle resistenze e VC = -q / C ,nel condensatore. Applichiamo la seconda legge di Kirchhoff per studiare la variazione di carica sul condensatore: f + VR + VC = 0 → f - R·i - q/C = 0 .Definendo la carica che attraversa un punto P come ΔqP , essa risulta uguale alla variazione di carica Δq sull'armatura positiva del condensatore: Δq = ΔqP .Essendo ΔqP = i · Δt, di conseguenza si ha l'intensità di corrente corrente istantanea: i = Δq / Δt. L'andamento della carica nel tempo q(t) è dato da: q(t) = f · C · (1 - e^(-t/τ) ) dove τ = RC è detta costante di tempo del circuito e minore è τ, maggiore è la velocità di variazione della carica. Nell'istante iniziale t = 0: q(0) = f · C · (1 - e^(-0/τ) ) = 0. L'intensità di corrente i(t) è data da: i(t) = (f / R).

Fase di scarica

La differenza di potenziale ai capi del condensatore è VC = q / C, mentre ai capi della resistenza è VR = -R · i. Applicando la legge di Kirchhoff: VC + VR = 0 → q/C - R·i = 0. L'andamento della carica residua q(t) è espresso da: q(t) = Q0 · e^(-t/τ) dove Q0 = f · C rappresenta la carica iniziale, quindi: q(t) = f · C · e^(-t/τ) . La variazione dell'intensità di corrente è data da: i(t) = (Q0 / RC) · e^(-t/τ).

Il circuito RL

È composto da una resistenza R collegata in serie a un induttore di induttanza L.
• In fase di carica: quando l'intensità iniziale della corrente è nulla e cresce nel tempo.
• In fase di scarica: un induttore percorso da corrente viene isolato dal generatore e chiuso su una resistenza.

Fase di carica

La differenza di potenziale ai capi della resistenza è VR = -R · i. La differenza di potenziale ai capi dell'induttore si studia tramite la legge di Neumann-Faraday-Lenz: VL = -L · (di / dt) L'andamento dell'intensità di corrente i(t) è pari a: i(t) = (f / R) · (1 - e^(-t/τL)) con costante di tempo del circuito induttivo pari a τL = L / R.

Fase di scarica

L'intensità decresce secondo la relazione: i(t) = i 0 · e^(-t/τL) dove
i0 = i(0) è l'intensità iniziale. Se l'induttore è stato precedentemente caricato al valore massimo da un generatore di forza elettromotrice, si ha
i0 = f / R, e quindi: i(t) = (f / R) · e^(-t/τL). Nella fase di scarica, l'energia precedentemente immagazzinata nell'induttore viene dissipata per effetto Joule nella resistenza. L'energia magnetica immagazzinata nell'induttore vale:
Um = (1/2)Li^2. L'aumento di corrente i in un induttore fa aumentare il suo campo magnetico interno. Nel caso di un solenoide ideale, l'induttanza è data da: L = μ0 · n2 · S · l dove S è la sezione, l la lunghezza e n la densità lineare delle spire. L'intensità di corrente nel solenoide ideale è legata al campo magnetico B dalla relazione: i = B / (μ0 · n). La densità di energia magnetica um, dotata di validità generale, è definita come:
um = Um / V = B2 / (2μ0 ). In presenza di un mezzo materiale con permeabilità magnetica relativa μr : um = B2 / (2μ0μ r )

Corrente alternata

Un circuito a corrente alternata può essere alimentato da un generatore di tensione la cui forza elettromotrice varia nel tempo secondo la relazione:
f(t) = F · \cos(2πνt + φ0 ) = F · \cos(ωt + φ0 ). Dove i parametri sono definiti come:
• F = Tensione massima
• ν = Frequenza
• ω = 2πν = Pulsazione
• φ(t) = ωt + φ0 = Fase all'istante t
• φ0 = Fase iniziale
La corrente alternata risultante è definita da:
i(t) = I · \cos(2πνt + φ0 ) = I · \cos(ωt + φ0 ) dove I rappresenta il valore massimo dell'intensità di corrente.
Il circuito resistivo [CON φ0 = 0]
Considerando f(t) = f · \cos(ωt) ed applicando la seconda legge di Kirchhoff si ottiene
f(t) = R · i, da cui: i(t) = f(t) / R = (f / R) · \cos(ωt) = I · \cos(ωt) L'intensità ha la stessa frequenza della forza elettromotrice e il suo valore massimo è I = f / R. Le due grandezze (tensione e corrente) sono in fase.

Il circuito capacitivo [condensatore]

La differenza di potenziale deve eguagliare la forza elettromotrice del generatore: VC = f → q / C = F · \cos(ωt). Da cui ricaviamo la carica
q = F · C · \cos(ωt) e, derivando, l'intensità di corrente:
i = -F · C · ω · \sin(ωt) → i = I · \cos(ωt + π/2). La corrente ha la stessa frequenza della forza elettromotrice f, valore massimo I = F · C · ω ed è in anticipo di fase di π/2. Introducendo la reattanza capacitiva ZC = 1 / (ωC) (misurata in Ohm), il valore massimo della corrente diventa: I = f / ZC.
Il circuito induttivo [induttore]
Per la seconda legge di Kirchhoff si ha: f(t) + v(t) = 0. L'intensità di corrente vale: i(t) = (f / ωL) · \sin(ωt) = I · \cos(ωt - π/2). La corrente ha la stessa frequenza della tensione, valore massimo I = f / (ωL) ed è in ritardo di fase di π/2. La reattanza induttiva vale ZL = ωL, per cui si può scrivere:
I = F / ZL.

Il circuito RCL

Si ha quando una resistenza, un induttore e un condensatore sono collegati in serie. Ricapitolando le relazioni istantanee:
• Forza elettromotrice: f(t) = F · \cos(ωt)
• Differenza di potenziale resistiva: VR(t) = -R · i
• Differenza di potenziale capacitiva: VC(t) = -q / C
La massima intensità di corrente è espressa da:
I = F / \sqrt{(ωL - 1/ωC)^2 + R^2 } = F / Z
dove Z = \sqrt{(ZL - ZC)^2 + R^2} = \sqrt{(ωL - 1/ωC)^2 + R^2} prende il nome di impedenza totale del circuito (misurata in Ohm). La differenza di fase tra la tensione e la corrente è detta sfasamento δ ed è definita da:
tan δ = (ZL - ZC) / R = (LCω^2 - 1) / (ωRC). Quando ZL = ZC si verifica la condizione di risonanza e si definisce la pulsazione di risonanza ω0 :
ω0 = 1 / \sqrt{LC}. In questo caso l'impedenza del circuito è minima (Z = R), l'intensità della corrente è massima ed è pari a I = F / R, lo sfasamento è nullo (δ = 0) e il circuito si comporta come un circuito puramente resistivo.

Il Circuito LC

Contiene un induttore e un condensatore, costituendo un oscillatore ideale. È possibile stabilire un'analogia con l'equazione del moto armonico meccanico:
L · (di(t)/dt) = -q(t)/C \(\leftrightarrow \) m · (dv(t)/dt) = -k · x(t).
Esattamente come nell'oscillatore meccanico avviene una continua conversione tra energia potenziale elastica e energia cinetica, nel circuito LC si assiste a una continua trasformazione reciproca tra energia potenziale elettrostatica ed energia magnetica, con una pulsazione propria pari a: ω = 1 / \sqrt{LC}. Analisi energetica negli istanti salienti:
• Nell'istante con condensatore carico al valore massimo Q0 la differenza di potenziale è massima, l'intensità di corrente è nulla e l'energia totale è puramente elettrostatica: E = ½ · Q0^2 / C . Nell'oscillatore: E = ½ k A2 (massima estensione della molla).
• Nell'istante con condensatore completamente scarico la differenza di potenziale è minima (nulla), l'intensità di corrente raggiunge il valore massimo I e l'energia è interamente magnetica: E = ½ L i^2. Nell'oscillatore:
E = ½ m v2 (passaggio per la posizione di equilibrio).
• Successivamente, il condensatore si ricarica con polarità invertita e il ciclo si ripete tornando allo stato iniziale.
La Potenza Elettrica Media e Istantanea
Dati l'andamento della tensione f(t) = F · \cos(ωt) e della corrente i(t) = I · \cos(ωt - δ), la potenza istantanea è definita da:
p(t) = F · I · \cos(ωt) · \cos(ωt - δ). Poiché la potenza istantanea varia continuamente nel tempo, si introduce la potenza media P valutata in un intervallo di tempo: P = (F · I / 2) · \cos δ = (Z · I^2 / 2) · \cos δ essendo F = I · Z. Il termine \cos δ viene denominato fattore di potenza. Il condensatore e l'induttore ideali non dissipano energia in media su un periodo (per essi lo sfasamento è ±π/2, quindi il fattore di potenza è nullo). Si definiscono i valori efficaci della tensione (F_e ) e della corrente (I_e ) come: F_e = F / \sqrt{2} e I_e = I / \sqrt{2}. La potenza media può essere espressa in modo equivalente a un circuito in corrente continua:
P = F_e · I_e · \cos δ = (F_e^2 / Z) · \cos δ = Z · I_e^2 · \cos δ. Il valore efficace della tensione alternata corrisponde al valore della forza elettromotrice di un generatore in corrente continua che provocherebbe la stessa dissipazione termica nella medesima resistenza.