Propagazione dell'errore nelle misure dirette ed indirette di grandezze

Propagazione dell'errore nella misurazione

calcolo e propagazione dell’errore nella misurazione di grandezze fisiche
tutte le grandezze che sono argomento di studio della fisica possono essere misurate direttamente o indirettamente.
la misura diretta di una grandezza fisica viene rappresentata dal confronto diretto della grandezza stessa con l’unità campione oppure con una sua copia.
per esempio, la misura della lunghezza di una stanza tramite un metro a rotella è una misura diretta della grandezza (la lunghezza) che interessa.
la misura indiretta di una grandezza fisica la si effettua tramite formule calcolo che usano tutte le operazioni che la matematica mette a disposizione (addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza, ecc) e non può essere misurata direttamente con uno strumento.
un esempio di misura indiretta è la densità di una sostanza che viene calcolata facendo il rapporto fra la massa ed il volume di quella stessa sostanza.
ogni qualvolta si effettua una misura (diretta o indiretta) di una grandezza fisica si deve tener conto del fatto che viene compiuto un errore e che non potremo definire una misura precisa ed esatta, bensì andremo a definire un intervallo all’interno del quale si trova la misura esatta della grandezza questione di studio.
l = lm ± ea
lm − ea ≤ l ≤ lm + ea
dove
lm = valore medio della misura di cui si sta effettuando la misurazione
ea = errore assoluto o semi dispersione
ovviamente tanto più piccolo sarà l’intervallo all’interno nel quale si suppone sia il valore esatto della nostra misura, tanto maggiore sarà la precisione e l’accuratezza della misura da noi effettuata.
il valore medio della misura, lm, si ottiene facendo la media aritmetica delle varie misurazioni effettuate, ossia:
supposto di aver effettuato un dato numero n di misurazioni di una data grandezza, l1, l2, l3, …, ln, il valore medio lm, si ottiene da
lm = (l1 + l2 + l3 + … + ln)/n (media aritmetica)
il valore dell’errore assoluto, ea, solitamente si ottiene dalla metà della differenza fra la misura massima e quella minima misurate (l1, l2, l3, …, ln), ossia
ea = (lmax – lmin)/2
lmax = max (l1, l2, l3, …, ln)
lmin = min (l1, l2, l3, …, ln)
i tipi di errori che possono presentarsi nel momento in cui effettuiamo una misura diretta possono essere di vario tipo (gli errori delle misure indirette dipendono invece dal tipo di operazioni eseguite per il calcolo della misura indiretta analizzata).
• errori di sensibilità: dipende dalla sensibilità dello strumento usato per effettuare la misura; solitamente si assume come valore di tale errore la semi ampiezza dell’intervallo tra due suddivisioni consecutive dalla scala.
• errori casuali (o statistici): errore prodotto da una molteplicità di cause non bene individuabili che possono agire talvolta per difetto o per eccesso.
• errori sistematici: errori che avvengono sempre nello stesso verso (sempre per eccesso o sempre per difetto); possono derivare da deficienze strumentali, da un metodi errati di misura o errate interpretazioni delle leggi.

Gli errori sopra elencati sono errori assoluti, di cui la misura risulta affetta.
un altro tipo di errore, cui si ricorre per confrontare la precisione delle misure di grandezze non omogenee, è l’errore relativo, definito come segue:
er = ea / lm
ossia dal rapporto fra l’errore assoluto e la misura media della grandezza.
cui si va ad aggiungere l’errore relativo percentuale:
er% = er × 100
minore è l’errore relativo o l’errore relativo percentuale, maggiore sarà la precisione della misura effettuata.
supponiamo adesso di voler procedere al calcolo di una misura indiretta e di voler studiare il comportamento dell’errore in tale calcolo.
è da precisare subito che qualunque sia il tipo di operazione che verrà usata per ottenere la misura indiretta, l’errore che si otterrà non potrà mai diminuire: l’errore di cui una misura è affetta, non diminuisce mai, bensì si propaga.
il valore dell’errore assoluto con cui si scriverà la grandezza finale dipende dal tipo di operazione usata per trovare la misura indiretta.
date le due grandezze, l1 e l2, le cui misure sono espresse come segue
l1 = l1m ± e1a
l2 = l2m ± e2a
Si ha che
• somma e sottrazione
l1 + l2 = (l1m + l2m) ± (e1a + e2a)
ossia si somma sia i valori medi che gli errori assoluti
l1 - l2 = (l1m - l2m) ± (e1a + e2a)
ossia si sottraggono i valori medi e si sommano gli errori assoluti
in conclusione se dobbiamo calcolare l’errore assoluto di una somma o di una sottrazione si devono sommare gli errori assoluti, l’errore relativo si calcola effettuando ancora il rapporto fra errore assoluto e valore medio.
• moltiplicazione e divisione
per ottenere l’errore assoluto di una moltiplicazione o divisione si deve passare attraverso gli errori relativi delle grandezze in questione
(l1) × (l2) = l1x2m ± ea1x2
dove
l1x2m = (l1m × l2m)
ea1x2 = errore assoluto relativo al prodotto delle due grandezze che si calcola come segue
ea1x2 = e1x2r × l1x2m
dove
e1x2r = e1r + e2r è l’errore relativo totale del prodotto delle due grandezze
(l1) ÷ (l2) = l1÷2m ± ea1÷2
dove
l1÷2m = (l1m ÷ l2m)
ea1÷2 = errore assoluto relativo al prodotto delle due grandezze che si calcola come segue
ea1÷2 = e1÷2r × l1÷2m
dove
e1÷2r = e1r + e2r è l’errore relativo totale del prodotto delle due grandezze
in conclusione se dobbiamo calcolare l’errore assoluto di una moltiplicazione o di una divisione si devono sommare gli errori relativi, e poi risalire all’errore assoluto tramite la formula inversa che definisce l’errore relativo stesso.
• elevamento a potenza
(l)n = (lm)n ± ean
ean = ern × (lm)n
dove
ern = n × er (er = ea / lm)
ossia l’errore relativo dell’elevamento a potenza è dato dal prodotto dell’esponente per l’errore relativo della base.
l’errore assoluto si calcola di conseguenza con la solita formula.