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Grandezze fisiche ed errori di misurazione
Capitolo primo
Introduzione
La Fisica classica, al contrario di quello che può sembrare, è suddivisa in cinque branche principali:
Meccanica: branca della Fisica che studia l’equilibrio ed il moto dei corpi;
Termodinamica: ramo che si occupa dello studio dei fenomeni legati al calore e alla sua trasmissione;
Acustica: si occupa delle proprietà del suono e della sua propagazione;
Elettromagnetismo: questo ramo studia i fenomeni elettrici e magnetici, in particolare si lega al ramo acustico nello studio della propagazione di onde elettromagnetiche;
Ottica: studia la luce e i fenomeni che la riguardano (diffrazione, interferenza, rifrazione, riflessione…).
Tuttavia, col passare degli anni, a queste categorie sono stati aggiunti altri sei campi di indagine, dovuti principalmente alla scoperta della teoria della relatività e della meccanica quantistica e allo sviluppo dell’ottica sperimentale. Essi sono:

Fisica atomica: studia gli atomi e le loro interazioni;
Fisica nucleare: studia il nucleo atomico;
Fisica delle particelle: studia le particelle elementari;
Fisica dello stato solido;
Astrofisica: studia la materia celeste e le sue proprietà;
Cosmologia: studia l’universo nel suo insieme.
Le grandezze fisiche
Per lo studio della fisica, è stato necessario introdurre dei sistemi di misura che permettessero di classificare le diverse quantità.
DEFINIZIONE1.1– Grandezza fisica
Una grandezza fisica è una caratteristica di un oggetto o di un fenomeno che può essere misurata.
È stata quindi adottata una convenzione internazionale che permettesse di unificare il pianeta sulla misura delle caratteristiche di un oggetto o di un fenomeno:
Grandezza Dimensione fisica Simbolo
Lunghezza Metri m
Tempo Secondi s
Massa Chili kg
Temperatura Kelvin K
Intensità di corrente Ampere A
Quantità di materia Mole mol
Intensità luminosa Candela cd
TABELLA1.1– Grandezze fondamentali del Sistema Internazionale
A seguito di queste, furono introdotte anche delle grandezze fisiche definite come derivate, in quanto diretta conseguenza di operazioni matematiche effettuate su quelle fondamentali.
Grandezza Dimensione fisica Simbolo
Area Metri quadrati m^2
Volume Metri cubi m^3
Densità Massa su volume kg/m^3
TABELLA1.2– Alcune grandezze derivate dal Sistema Internazionale

Arrotondamento
Cifre significative
Siccome in una misura non è dato sapere con certezza il valore effettivo ma solamente un valore più o meno approssimato a seconda della sensibilità dello strumento, viene introdotto il concetto di cifra significativa:

DEFINIZIONE1.2– Cifre significative
Le cifre significative di una misura di qualsiasi grandezza sono quelle note con certezza e la prima cifra incerta.
Vediamone subito qualche esempio.
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ESEMPIO1.1– Cifre significative
9,54400 ha sei cifre significative 0,04536 ha quattro cifre significative
0,5680 ha quattro cifre significative 56,834 ha cinque cifre significative
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Cosa succede però se dobbiamo eseguire calcoli con grandezze fisiche aventi cifre significative differenti? Il risultato non può avere una precisione più accurata delle singole grandezze. Si procede quindi con l’arrotondamento del risultato, vediamo di seguito la definizione seguita dall’esempio:

DEFINIZIONE1.3– Arrotondamento di un numero
Arrotondare un numero significa scriverlo riducendo il numero di cifre significative.
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ESEMPIO1.2 – Arrotondamento di un numero
Se l’ultima cifra da trascurare è minore di cinque, la cifra precedente ad essa rimane invariata.
3,452 = 3,45 da 4 c.s. è passato a 3 c.s. 4,5434 = 4,543 da 5 c.s. è passato a 4 c.s.
Se l’ultima cifra da trascurare è maggiore o uguale a cinque, la cifra precedente viene incrementata di una unità.
3,457 = 3,46 da 4 c.s. è passato a 3 c.s. 4,5435 = 4,544 da 5 c.s. è passato a 4 c.s.________________________________________
Come ogni cosa, anche le cifre significative hanno delle regole da rispettare per essere utilizzate al meglio. Soffermiamoci ora sulle varie regole:

DEFINIZIONE1.4– Moltiplicazione o divisione di due grandezze
Il risultato della moltiplicazione o divisione di due grandezze deve aver lo stesso numero di cifre significative della grandezza che ne ha di meno.
DEFINIZIONE1.5– Moltiplicazione o divisione di una grandezza per un numero
Il risultato della moltiplicazione o divisione di una grandezza per un numero deve aver lo stesso numero di cifre significative della grandezza.
DEFINIZIONE1.6– Addizione o sottrazione di due grandezze
Il risultato dell’addizione o sottrazione di due grandezze deve aver lo stesso numero di cifre decimali uguali al minor numero di decimali presenti in ogni addendo.
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ESEMPIO1.3– Moltiplicazione o divisione di due grandezze
(3,6345 m)∙(1,4 m)=5,0883 m^2=5,1 m^2 (4,52685 m) ∶(2,1 m)=2,1556 m^2=2,16 m^2________________________________________
ESEMPIO1.4– Moltiplicazione o divisione di una grandezza per un numero
(9,123 kg)∙2=18,123 kg=18,12 kg (23,65 m) ∶1,2=19,708(3) m=19,71 m________________________________________
ESEMPIO1.5– Addizione o sottrazione di due grandezze
(16,7 s)+ (1,542 s)=(16,7 s)+(1,5 s)=18,2 s ________________________________________
Errori di arrotondamento
Nella risoluzione degli esercizi, può capitare che il risultato differisca nella sua ultima cifra da quello dato dal creatore di tale esercizio. Questo succede anche se vengono utilizzate tutte le cifre significative utilizzate nell’esercizio ed è causato dall’arrotondamento in diversi momenti del calcolo. Vediamone un esempio:________________________________________
ESEMPIO1.6– Errori di arrotondamento
Supponiamo che Giovanni debba andare a fare rifornimento di benzina per il suo veicolo. Il prezzo è espresso in millesimi, ma per motivi pratici il prezzo finale deve essere espresso in centesimi di euro. In questo distributore il costo è di 1,756 €/litro. Quanto spende Giovanni se deve acquistare 4 l di benzina?
Esistono due modi di risolvere questo problema.Il primo è arrotondando subito il prezzo della benzina:
1,756 = 1,76 €/L
(EQUAZIONEE6.1 – Arrotondamento prezzo)
ed eseguire quindi l’operazione:
(1,76 €/L) ∙ 4 l =7,04 €
(EQUAZIONE E6.2 – Prezzo da pagare)
Il secondo eseguendo prima l’operazione:
(1,756 €/L) ∙ 4 l =7,024 €
(EQUAZIONE E6.3 – Prezzo da pagare)
e successivamente l’arrotondamento:
7,024 L =7,02 €
(EQUAZIONE E6.4 – Arrotondamento prezzo)
Come possiamo notare, i due risultati differiscono nell’ultima cifra di due centesimi di euro. Intendiamo questo quando parliamo di errori di arrotondamento.
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Ordini di grandezza
Non sempre è necessario calcolare un valore con precisione, a volte basta averne solo un’idea approssimata. Per farlo dovremo utilizzare la notazione scientifica e le potenze di dieci. Questo significa stimare un valore, non averne un idea precisa e matematica, ma solo calcolare il suo ordine di grandezza. Cosa significa ordine di grandezza? Osserviamo la sua definizione:
DEFINIZIONE1.7– Ordine di grandezza
L’ordine di grandezza di un numero è la potenza di 10 più vicina a quel numero.
Dato che dobbiamo approssimare alla potenza di 10 più vicina al nostro valore, è necessario differenziare i numeri inferiori al 5 dai numeri maggiori o uguali ad esso. Per i numeri minori di 5, con esponente positivo, si mantiene la potenza così com’è. Se invece fosse maggiore o uguale a 5, bisogna aggiungere 1 all’esponente della potenza.
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ESEMPIO1.7– Ordine di grandezza per numeri grandi (esponente positivo)
3,6∙〖10〗^2 → odg:〖10〗^2
9∙〖10〗^2 ~ 10∙〖10〗^2=〖10〗^3 → odg:〖10〗^3
(EQUAZIONE 1.1– Ordini di grandezza, odg)
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In caso i numeri fossero piccoli e quindi con esponente negativo, vigono le stesse regole: se il numero è minore di 5, si mantiene l’esponente della potenza mentre se è maggiore o uguale a 5, bisogna aggiungere 1 all’esponente della potenza.
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ESEMPIO1.8– Ordine di grandezza per numeri piccoli (esponente negativo)
4,2∙〖10〗^(-3) → odg:〖10〗^(-3)
5,6∙〖10〗^(-12) ~ 10∙〖10〗^(-12)=〖10〗^(-11) → odg:〖10〗^(-11)
(EQUAZIONE 1.2– Ordini di grandezza, odg)
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Gli strumenti di misura
Gli strumenti di misura sono i mezzi con cui noi otteniamo i valori di alcuni oggetti. Ad esempio, il righello, la bilancia, l’orologio, sono tutti strumenti di misura. Ci sono due tipi di strumenti, quelli digitali e quelli analogici. Gli strumenti digitali sono i più moderni, come la bilancia con il display, che funziona grazie allo sfruttamento di batterie e circuiti elettrici. Quelli analogici, funzionano grazie a meccanismi ancora materiali, come il pendolo, la bilancia con le lancette, oppure il righello. Dove non c’è un display ed elettricità, è analogico. Ogni strumento, analogico o digitale che sia, ha una portata, di cui vediamo la definizione:
DEFINIZIONE1.8– Portata di uno strumento
La portata di uno strumento è il massimo valore della grandezza che lo strumento può misurare.
e una sensibilità:
DEFINIZIONE1.9– Sensibilità di uno strumento
La sensibilità di uno strumento è la più piccola variazione della grandezza che lo strumento può rilevare.
Per esempio, un righello da 20 cm ha come portata 20 cm e come sensibilità 1 mm, perché la distanza tra una tacca e l’altra è di 1 mm, la minima variazione possibile.
I vari tipi di errori
Esistono vari tipi di errore: ne vedremo i principali.
Gli errori di misura
Come abbiamo visto prima, se bisogna misurare una distanza con un ordine di grandezza di 0,1 mm, non potremmo utilizzare il nostro righello con sensibilità 1 mm, perché è troppo piccola per questo strumento. Nascono così gli errori di misura. Esistono due tipi di errori: gli errori sistematici sono dovuti principalmente per quattro motivi, o per lo strumento, come una bilancia che non segna 0 quando non c’è niente, o nell’utilizzo di esso (righello male allineato), o nell’errore di parallasse (posizione storta dell’osservatore, soprattutto per i liquidi), o per il tempo di reazione (nel caso del cronometro). In ogni caso gli errori sistematici si possono ridurre o addirittura eliminare, in base alla bravura dello sperimentatore. Gli errori accidentali invece sono errori dovuti al caso che non si possono eliminare, sono detti infatti statistici, perché determinano misure errate talvolta per difetto, talvolta per eccesso. Possono solo essere ridotti aumentando il numero delle misurazioni.
Il risultato di una misura
Di seguito la definizione di valore attendibile:
DEFINIZIONE1.10– Valore attendibile
Il valore attendibile di una misura è quello che si avvicina di più alla vera misura (che noi non conosciamo).
Nel caso del valore attendibile, ci sono due modi per calcolarlo. Se la misura ha un solo dato, ossia l’oggetto è stato misurato una sola volta, il valore attendibile corrisponde a quel valore.
¯x=x_0
(EQUAZIONE 1.3–Valore attendibile con una misura)
dove x_0 è l’unica misura del valore. Se si sono fatte molteplici misurazioni, allora il valore attendibile corrisponderà a la media aritmetica dei valori ottenuti.
¯x=(∑_1^n▒x_i )/n
(EQUAZIONE 1.4– Valore attendibile con più misure)
dove x_i è la generica misurazione, n è il numero delle misurazioni e ¯x è la media aritmetica delle misurazioni. Ora vediamo la definizione di errore assoluto o incertezza:
DEFINIZIONE1.11– Errore assoluto o incertezza
L’errore assoluto di una misura è il valutare quantitativamente l’incertezza della misura stessa.
Per calcolare l’errore assoluto, viene utilizzata la seguente formula:
e_x=semidispersione=(valore massimo-valore minimo)/2
(EQUAZIONE 1.5– Errore assoluto)
Ora che sappiamo cosa significano queste due parole possiamo vedere come si esprime il risultato di una misura:
x=¯x ±e_x
(EQUAZIONE 1.6– Errore assoluto)
Possiamo quindi dedurre dall’equazione soprastante la definizione seguente:
DEFINIZIONE1.12– Risultato di una misura
Dall’ EQUAZIONE 1.6si definiscono ¯x come il valore attendibile di x, mentre e_x è l’errore assoluto (o incertezza) della misura.
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ESEMPIO 1.9– Il risultato di una misura
Di seguito sono mostrati i risultati delle misure che uno studente ha rilevato nella misurazione del tempo che un pendolo impiega per compiere un’oscillazione.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 20
2,25 s 2,22 s 2,26 s 2,24 s 2,28 s 2,27 s 2,29 s 2,27 s 2,32 s 2,26 s
TABELLA1.3– Dati rilevati dallo studente riguardo il pendolo
Innanzitutto dobbiamo calcolare il valore attendibile sfruttando la media aritmetica:
¯t=(2,25+2,22+2,26+2,24+2,28+2,27+2,29+2,27+2,32+2,26)/10=2,27 s
(EQUAZIONE E9.1– Valore attendibile)
In secondo piano dobbiamo calcolare l’errore assoluto:
e_t=(2,32-2,22)/2=0,05 s
(EQUAZIONE E9.2 – Errore assoluto)
Infine, possiamo scrivere il risultato secondo le regole:
t=¯t ±e_m
(EQUAZIONEE9.3 – Risultato di misure)
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Errore relativo e percentuale
L’errore assoluto non permette di verificare la precisione della misura, perché se l’errore assoluto è di 5 cm, bisogna vedere qual è il valore attendibile. Se è di 50 cm si tratta di 5/50 cm mentre se è di 50 m si parla di 5/5000 cm il che è ben differente.Invece l’errore relativo permette di avere l’indice della precisione, che equivale al rapporto tra errore e valore.
Vediamo come si può calcolare l’errore relativo e come si deve scrivere:
ε_x=e_x/¯x
(EQUAZIONE 1.7– Errore relativo)
Dall’EQUAZIONE 1.7possiamo ricavare la definizione di errore assoluto:
DEFINIZIONE 1.13– Errore relativo
Dall’ EQUAZIONE 1.7si definiscono ¯ε come l’errore relativo di x, mentre e_x è l’errore assoluto (o incertezza) della misura e ¯x è il valore attendibile.
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ESEMPIO 1.10 – Errore relativo
Supponiamo di avere già l’errore assoluto e il valore attendibili della misurazione dell’altezza di una porta:
h=(2,10 m ±0,01 m)
(EQUAZIONE E10.1 – Risultato primo esempio)
L’errore assoluto è di 0,01 m mentre l’errore relativo lo andiamo subito a calcolare:
ε_h=(0,01 m)/(2,10 m)=0,0047619 ~ 0,004
(EQUAZIONE E10.2 – Errore relativo primo esempio)
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ESEMPIO 1.11 – Errore relativo
Ora eseguiamo di nuovo gli stessi calcoli, ma con valori differenti per studiare cosa succede:
x=(100 km ±100 m)
(EQUAZIONE E11.1 – Risultato secondo esempio)
L’errore assoluto è di 100 m mentre l’errore relativo lo andiamo subito a calcolare:
ε_x=(100 m)/(100'000 m)=0,001
(EQUAZIONE E11.2 – Errore relativo secondo esempio)
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Come possiamo notare dall’ESEMPIO 1.10 e dall’ ESEMPIO 1.11, il secondo errore assoluto è notevolmente più grande, ma essendo il valore misurato altrettanto grande, l’errore relativo risulta essere più piccolo del primo caso, di conseguenza, più preciso.
L’errore percentuale non è che la semplificazione dell’errore relativo, in quanto consiste nel moltiplicare per cento il valore di quest’ultimo. L’errore percentuale si indica come l’errore relativo, sempre con ε.
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ESEMPIO 1.12– Errore percentuale
Se ad esempio, l’errore relativo fosse 0,001, l’errore percentuale sarebbe:
ε_p=0,001∙100=0,1 %
(EQUAZIONE E12.1 – Errore percentuale)
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Propagazione dell’errore
Prima di parlare di cosa sia la propagazione dell’errore, bisogna sapere la differenza tra misura diretta e indiretta, di cui le definizioni seguenti:
DEFINIZIONE 1.14– Misura diretta
Per misura diretta si intende confrontare una grandezza confrontandola con un campione, un’unità di misura e scoprire quante volte è contenuta dentro di essa.
DEFINIZIONE 1.15 – Misura indiretta
Misurare indirettamente una grandezza significa ricavarne il valore da altre misure.
La propagazione dell’errore è un fenomeno che avviene quando si effettuano operazioni tra misurazioni indirette.
La propagazione dell’errore è differente in base al tipo di operazione da eseguire. Vediamo ora il caso della somma tra grandezze.
¯c=¯a+¯b→e_c=e_a+e_b
(EQUAZIONE 1.8 – Propagazione errore tra somma di grandezze)
Se la grandezza cè ottenuta dalla somma del valore attendibile di a e b, allora l’errore assoluto di c è la somma dell’errore assoluto di a e l’errore assoluto di b. Supponiamo il caso della differenza tra grandezze. Il risultato non cambia, come possiamo osservare di seguito:
¯s=¯a-¯b→e_s=e_a+e_b
(EQUAZIONE 1.9 – Propagazione errore tra differenza di grandezze)
Anche in questo caso, l’errore assoluto è sempre la somma dell’e_a dia e b.
Passiamo ora al caso della moltiplicazione o divisione tra una grandezza e un numero.
¯p=¯a∙k→e_p=e_a∙k
(EQUAZIONE 1.10 – Propagazione errore tra moltiplicazione di una grandezza e un numero)
Come possiamo notare nella formula, l’errore assoluto viene moltiplicato per il numero k. Stessa cosa per la divisione (dividendo al posto di moltiplicare, ovviamente):
¯d=¯a/k→e_d=e_a/k
(EQUAZIONE 1.11 – Propagazione errore tra divisione di una grandezza e un numero)
Di seguito osserviamo le formule per la propagazione dell’errore nella moltiplicazione o divisione di due grandezze:
¯f=¯a∙¯b→ε_f=ε_a+ε_b
(EQUAZIONE 1.12 – Propagazione errore nella moltiplicazione tra due grandezze)
¯g=¯a/¯b→ε_g=ε_a+ε_b
(EQUAZIONE 1.13 – Propagazioneerrore nella divisione tra due grandezze)
In queste due ultime equazioni, l’EQUAZIONE1.12 e l’EQUAZIONE 1.13, non è possibile calcolare la propagazione dell’errore assoluto, ma bensì di quello relativo. Difatti vediamo che in caso di moltiplicazione o divisione tra due grandezze, l’errore relativo è uguale alla somma degli errori relativi delle due grandezze. Successivamente possiamo dedurre l’errore assoluto grazie alla conoscenza di ε_r e¯r.



Formule geometriche e rappresentazioni funzionali
Capitolo secondo

Formule
Analizziamo alcune proprietà delle formule utilizzate in Fisica.
Formule inverse
A volte, nella fisica, può capitare di dover utilizzare delle formule, anche geometriche. E ancora più volte capita di avere la formula principale ma ci si ritrova ad avere diversi dati e bisogna ottenere diversi risultati da quelli della formula. ________________________________________
ESEMPIO 2.1– Formule inverse
Prendiamo ora in esempio la formula seguente:
C=2πr
(EQUAZIONE E1.1 –Formula circonferenza)
Mettiamo ora che noi abbiamo la circonferenza (C) e dobbiamo trovare il raggio (r). Come facciamo a “girare” l’equazione per fare in modo di trovare il raggio avendo la circonferenza? Ecco un esempio:
C=2πx→C/2π=2πx/2π→C/2π=x→x=C/2π
(EQUAZIONE E1.2 –Formula inversa circonferenza)
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Analisi dimensionale
A volte per capire meglio una formula, è necessario analizzare le sue dimensioni, ossia fare l’analisi dimensionale. Facciamo prima un esempio per capire meglio di cosa si tratta:
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ESEMPIO 2.2 – Analisi dimensionale
A=(b+B)/2∙h
(EQUAZIONE E2.1 – Formula area)
Data la precedente formula, fare l’analisi dimensionale di essa. L’analisi consiste nel controllare che sia a destra sia a sinistra dell’uguale ci sia la stessa “quantità” di unità di misura. Risolviamo ora questo quesito e analizziamo la soluzione:
[m^2 ]=[(m+m)/2∙m]→[m^2 ]=[m∙m]→[m^2 ]=[m^2 ]
(EQUAZIONE E2.1 – Formula area)
Abbiamo quindi sostituito i dati con le loro unità di misura. Infatti l’area è diventatam^2 e così via. Se si risolve l’equazione, si arriva al risultato che m^2=m^2, quindi la nostra formula è corretta.
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Rappresentazione funzionale
Rappresentare funzionalmente una formula significa inserire nel grafico cartesiano quella formula, e osservare quanto varia il risultato al variare del dato. Vediamo ora un esempio:
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ESEMPIO 2.3 – Rappresentazione funzionale
Facciamo la rappresentazione funzionale della seguente formula:
V_h (r)=(π∙h)∙r^2
(EQUAZIONE E3.1 – Formula volume)
Ora rappresentiamo tutto in una tabella:
Raggio (r) Volume (V)
0 0
1 3,14
2 12,56
3 28,26
4 50,24
5 78,50
TABELLAE3.1–Rappresentazione funzionale
E ora in un grafico:

Questo grafico rappresenta quindi la variazione del volume del cilindro al variare del raggio se l’altezza è 1.

Rappresentazione di leggi fisiche
Capitolo terzo
Introduzione
In fisica è quasi sempre necessario raccogliere una grande quantità di dati, e a volte è veramente complicato, ricordarsi di tutti questi. Per ovviare a questo problema, si utilizzano vari metodi di raccoglimento di dati.
Raccoglimento di dati per tabelle
Le tabelle sono state utilizzate fin dall’antichità. Sono il metodo più rapido e di semplice comprensione. Di seguito riportiamo un esempio di tabella:
Lunghezza (m) Area (m^2) Volume (m^3)
5 25 125
6,4 40,96 262,144
7,2 51,84 373,248
10 100 1’000
TABELLA3.1–Esempio di tabella
Raccoglimento di dati per grafici
Solitamente, per ogni tabella è possibile creare un grafico. Ma ci sono vari tipi di grafico. Ci sono grafici a torta, a istogramma, diagrammi cartesiani, e molti altri ancora. Noi andiamo a sviluppare i diagrammi cartesiani, che per noi sono i più utili. Per capire meglio, vediamo un esempio:
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ESEMPIO 3.1 – Grafico cartesiano
Supponiamo di aver raccolto in una tabella come quella di seguito, la distanza percorsa da Giulio ogni 15 minuti per tornare a casa dalla lezione di musica.
Tempo (min) Distanza (m)
0 0
15 900
30 2100
45 3400
TABELLAE1.1–Esempio di tabella
Analizzando la tabella, possiamo notare che quando t=0, Giulio è partito e quando t=45', Giulio è arrivato, dopo aver percorso 3400 m (3,4 km). Rappresentiamo ora i dati in un piano cartesiano ed analizziamolo nel grafico a fianco.
Ogni piano cartesiano è caratterizzato da due assi, uno verticale chiamato “asse y” o “asse delle ordinate” e uno orizzontale, chiamato “asse x” o “asse delle ascisse”. In questo caso sull’asse delle ordinate troviamo la distanza (km) e su quello delle ascisse il tempo trascorso. Ogni punto è esattamente all’incrocio tra i dati da noi inseriti nella tabella. Per esempio, il punto A, ha coordinate 15;900.
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Relazioni fra grandezze fisiche
Possono esistere relazioni tra diverse grandezze fisiche di diverso tipo.
Proporzionalità diretta
DEFINIZIONE 3.1 – Proporzionalità diretta
Due grandezze direttamente proporzionali devono avere il loro rapporto costante.
Ora vediamo la relazione di proporzionalità diretta:
y/k=x, oppure y=kx
(EQUAZIONE 3.1 – Proporzionalità diretta)
Nell’EQUAZIONE 3.1poniamo y come una delle due grandezze e x come l’altra grandezza. La costante è k, o coefficiente di proporzionalità.
In questo caso, quello di proporzionalità diretta, k è il valore di y se il valore di x è unitario, in caso il valore di x fosse il doppio, il triplo o altro, allora y sarà il doppio, il triplo o altro rispettivamente.
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ESEMPIO 3.2 – Proporzionalità diretta
Annotiamo ad esempio quello che si può osservare da un erogatore della benzina ed inseriamolo in una tabella.
Litri (l) Euro (€)
0,00 0,00
1,00 1,70
2,00 3,40
3,00 5,10
TABELLAE2.1–Proporzionalità diretta
Se dobbiamo calcolare il prezzo della benzina (di conseguenza il rapporto tra il prezzo e la quantità) dobbiamo trovare il rapporto costante tra i due valori.
(1,70 €)/(1,00 l)=(3,40 €)/(2,00 l)=(5,10 €)/(3,00 l)=1,70 €/l
(EQUAZIONE E2.1 – Proporzionalità diretta)
La funzione matematica in questo caso è:
y=1,70x
(EQUAZIONE E2.2 – Funzione matematica della proporzionalità diretta)
Se per esempio volessimo cambiare il prezzo con un prezzo più alto, i valori cambierebbero e di conseguenza la funzione. Ora inseriamo i dati in un grafico come quello illustrato nel GRAFICOE2.1 qui affianco.
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Dipendenza lineare
DEFINIZIONE 3.2 – Dipendenza lineare
Due grandezze fisiche x e y sono linearmente dipendenti quando al crescere di una cresce anche l’altra, secondo una relazione del tipo:
y=kx+y_0
(EQUAZIONE 3.2 – Proporzionalità diretta)
Nell’EQUAZIONE 3.2poniamo k il coefficiente angolare e y_0 il termine noto.
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ESEMPIO 3.3 – Dipendenza lineare
Mettiamo che Giacomo abbia una piscina, ed essa sia già piena per 50 cm^3. Dato il grande numero degli amici che ha invitato per la festa, deve riempirla, quindi mette una pompa dentro la piscina che la riempie 10 cm^3/ h . Rappresentiamo questi dati in una tabella e successivamente troviamo la funzione:
Tempo (h) Volume (cm^3)
0 50
1 60
2 70
3 80
TABELLAE3.1–Dipendenza lineare
La funzione matematica in questo caso è:
y=10x+50
(EQUAZIONE E3.1– Funzione matematica della dipendenza lineare)
Ora vediamo il grafico:
________________________________________
Proporzionalità inversa
DEFINIZIONE 3.3– Proporzionalità inversa
Due grandezze sono inversamente proporzionali se il loro rapporto è sempre costante
xy=koppurey=k/x
(EQUAZIONE 3.3– Proporzionalità inversa)
Come per le altre relazioni, mostriamo un esempio con tabella, funzione e conseguente grafico:
________________________________________
ESEMPIO 3.4 – Proporzionalità inversa
Un rettangolo ha area 24m^2, e ha come lati iniziali x=6 m e y=4 m. Se x aumenta, y diminuirà per mantenere sempre la stessa area:
x (m) y (m) A (m2)
6 4 24
8 3 24
12 2 24
24 1 24
TABELLAE4.1–Dipendenza lineare
La funzione matematica in questo caso è:
xy=k
(EQUAZIONE E4.1– Funzione matematica della proporzionalità inversa)
E ora vediamo il grafico:
________________________________________
Proporzionalità quadratica
DEFINIZIONE 3.4 – Proporzionalità quadratica diretta
Una grandezza y è direttamente proporzionale al quadrato di una grandezza x se il loro rapporto è costante
y/x^2 =koppurey=kx^2 con k=costante
(EQUAZIONE3.4 – Proporzionalità quadratica)
La proporzionalità quadratica, graficamente viene rappresentata come una parabola. La proporzionalità quadratica può anche essere inversa. Leggiamo quindi la definizione:
DEFINIZIONE 3.5– Proporzionalità quadratica inversa
Una grandezza y è inversamente proporzionale al quadrato di una grandezza x se il loro prodotto è costante
x^2 y=koppurey=k/x^2 con k=costante
(EQUAZIONE 3.5– Proporzionalità quadratica)
Ora guardiamo un primo esempio sulla proporzionalità quadratica diretta:
________________________________________
ESEMPIO 3.5 – Proporzionalità quadratica diretta
Utilizziamo la funzione matematica s=0,5t^2 per costruire tabella e grafico:
s (m) t (s)
0,5 1
2 2
4,5 3
8 4
TABELLAE5.1–Proporzionalità quadratica diretta

________________________________________
ESEMPIO 3.6– Proporzionalità quadratica inversa
Utilizziamo la funzione matematica y=25/x^2 per costruire tabella e grafico:
x y
1 25
2 6,25
3 2,77777777778
4 1,562
TABELLAE6.1–Proporzionalità quadratica inversa

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Grandezze scalari, grandezze vettoriali e forze
Capitolo quarto
Grandezze scalari e grandezze vettoriali
Esistono due tipi di grandezze nel mondo della Fisica.
Grandezze scalari
DEFINIZIONE 4.1 – Grandezza scalare
Una grandezza scalare è una grandezza fisica composta da un numero seguito da una unità di misura
Grandezze vettoriali
Però a volte non basta utilizzare un numero per esprimere tutti i dati di una grandezza. A volte bisogna associargli una direzione: “Dove si trova il museo? A 0,5 chilometri verso quella parte”. Se volessimo fare un disegnino, questa freccia risulterebbe avere 3 informazioni in totale: modulo, direzione e verso. Il modulo o intensità rappresenta la distanza in linea d’aria (in questo caso). La direzione viene indicata dalla retta, e il verso dalla punta della punta della freccia. Questa grandezza con questi dati viene chiamata vettore o grandezza vettoriale.
DEFINIZIONE 4.2 – Grandezza vettoriale
Una grandezza vettoriale è una grandezza fisica rappresentata matematicamente da un vettore
DEFINIZIONE 4.3 – Vettore
Un vettore è un ente matematico definito da un modulo (numero non negativo), una direzione e un verso.
Per indicare un vettore si utilizza un simbolo in corsivo minuscolo o in stampatello maiuscolo con sopra una freccia sopra con verso a destra.
Operazioni con i vettori
Vediamo nel dettaglio le operazioni che coinvolgono i vettori.
Somma di vettori
DEFINIZIONE 4.4– Somma di due vettori: metodo punta-coda
Per calcolare la somma dei vettori:
Si dispone la coda di B ⃗ sulla punta di A ⃗
La somma (vettore C ⃗) è il vettore che va dalla coda diA ⃗ alla punta di B ⃗
Se per caso i due vettori avessero la stessa direzione, basta sommarli senza spostarli, purché abbiano lo stesso verso. Se quest’ultima condizione manca, basta fare la differenza.
Se si vuole ricorrere alla regola del parallelogramma, la definizione è la seguente:
DEFINIZIONE 4.5– Somma di due vettori: metodo parallelogramma
Per calcolare la somma dei vettori:
Si trasporta il vettore B ⃗ fino a quando la sua coda non tocca la coda di A ⃗ e si disegna il parallelogramma che ha come lati i vettori.
La somma (vettore C ⃗) è la diagonale del parallelogramma

Se si hanno più di due vettori, si procede con il metodo del parallelogramma, unendo tutte le code di tutti i vettori e facendo ad uno ad uno tutti i parallelogrammi.

Differenza di vettori
DEFINIZIONE 4.6– Differenza di due vettori
Per calcolare la differenza dei vettori:
Si costruisce il vettore opposto -B ⃗ diB ⃗
La differenza è D ⃗=A ⃗+(-B ⃗) che equivale a dire D ⃗=A ⃗-B ⃗.
Quindi vediamo ora la definizione di vettore opposto:
DEFINIZIONE 4.7 – Vettore Opposto
Un vettore opposto è costituito da una freccia con stessa direzione e modulo del vettore di partenza ma con verso contrario.
Prodotto di un vettore per un numero
Per moltiplicare un vettore per un numero, basta moltiplicare il modulo del vettore per il numero.


Componenti cartesiane di un vettore
Il vettore più essere scomposto in vari modi.
Componenti cartesiane di un vettore
Prendiamo ad esempio un vettore A ⃗, questo può essere visto come il risultato di una somma di vettori, le cosiddette componenti cartesiane.
Se si vuole rappresentare graficamente, si devono tracciare le proiezioni di A ⃗ sugli assi xedy per formare le componenti (A_x ) ⃗ e (A_y ) ⃗.
I versori
DEFINIZIONE 4.8– Versore
Un versore è un vettore di modulo unitario utilizzato per indicare un particolare verso o direzione.
Calcolare le componenti cartesiane di un vettore
Facendo utilizzo delle tre funzioni goniometriche più famose, il seno, il coseno e la tangente, possiamo ricavare le componenti cartesiane, a partire dal modulo del vettore e dalla direzione, ossia dall’angolo che ha con l’asse.
Il seno è il rapporto tra cateto oppostoall’angolo θ e ipotenusa:
senθ=(cateto opposto)/ipotenusa
(EQUAZIONE4.1 – Seno)
Il coseno è il rapporto tra cateto adiacenteall’angolo θ e ipotenusa:
cosθ=(cateto adiacente)/ipotenusa
(EQUAZIONE 4.2– Coseno)
La tangente è il rapporto tra cateto opposto e cateto adiacenteall’angolo θ:
tgθ=(cateto opposto)/(cateto adiacente)
(EQUAZIONE 4.3–Tangente)
Per calcolare una componente, per esempio A_x oppureA_y bisogna fare:
cosθ∙|A ⃗|oppuresinθ∙|A ⃗|
(EQUAZIONE 4.4 – Calcolo componente)


Le forze
Capitolo quinto
Le forze
Vediamo subito la definizione.:
DEFINIZIONE 5.1– Forza
Le forze sono vettori che tendono a modificare il moto dei corpi.
Le forze difatti hanno oltre ad una intensità, anche una direzione e un verso. Quando porti per esempio un passeggino, eserciti forza sul manico, spingendo in avanti. La forza esercitata può essere rappresentata da una freccia che parte dal manico e va in avanti.
Misurare le forze
Le forze, come tutte le altre grandezze fisiche, devono seguire un procedimento di misura ed hanno una loro unità di misura, il Newton. Il nome deriva dall’omonimo Isaac Newton, che scoprì per primo la forza di gravità. Il Newton misura l’intensità della forza. Di seguito vediamo prima la definizione:
DEFINIZIONE 5.2 – Newton
Un Newton (N) è la forza che produce un allungamento della molla di un dinamometro uguale a quello prodotto da una massa appesa di (1/9,81) kg.
e poi una tabella di dati raccolti:
Tipi di forza Intensità (N)
Forza dei motori di una navicella 3,1∙〖10〗^7
Forza traente di una locomotiva 2,5∙〖10〗^5
Spinta del motore di un jet 7,5∙〖10〗^4
Forza per accelerare un’automobile 7∙〖10〗^3
Peso di un uomo adulto 7∙〖10〗^2
Peso di una mela 1
Peso di una rosa 1∙〖10〗^(-1)
Peso di una formica 1∙〖10〗^(-3)
TABELLA5.1–Proporzionalità quadratica diretta
Risultante di più forze
A volte agiscono però più forze su un corpo. Se, come nella figura affianco, capita di avere più di una sola forza, bisogna utilizzare il metodo del parallelogramma.
R ⃗=(F_1 ) ⃗+(F_2 ) ⃗
(EQUAZIONE 5.1– Risultante)
La forza peso
La forza peso (detta anche semplicemente peso) è una forza particolare. Non si deve confondere con la massa, che non è una forza. Difatti, per calcolare la forza peso (calcolata in Netwon), si utilizza la seguente formula:
P=massa∙forza di gravità
(EQUAZIONE5.2– Forza peso)

Vediamo ora la definizione di questa forza:
DEFINIZIONE 5.3 – Forza peso
Il peso P di un oggetto sulla superficie terrestre è la forza gravitazionale esercitata su di esso sulla Terra.
Grazie alla formula, si capisce che la forza peso e la massa sono direttamente proporzionali. Infatti, se aumenta la massa, aumenta di conseguenza il peso. Vediamo la stessa formula con le variabili più indicate:
P=mg
(EQUAZIONE 5.3– Forza peso)
Dove gè una costante di proporzionalità pari a 9,81 N/kg sulla Terra (dovuta al fatto che 1 kg sulla Terra pesa 9,81 N). Essendo anche il peso una forza, esso ha modulo (indicato con P), direzione (perpendicolare alla superficie terrestre) e un verso (diretto verso il basso).
Differenza massa e peso
Come detto prima, c’è una grande differenza tra il concetto di massa e peso oltre che nella definizione. Vediamo un esempio:
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ESEMPIO 5.1 – Differenza massa e peso
Prendiamo un uomo di massa 56 kg e calcoliamo la massa prima con l’attrazione gravitazionale terrestre e poi lunare e vedremo la differenza:
P_terr=mg=56 kg∙9,81 N/kg=549,36 N
(EQUAZIONE E1.1 – Peso sulla Terra)
P_lun=mg=56 kg∙1,62 N/kg=90,72 N
(EQUAZIONE E1.2 – Peso sulla Luna)
Come possiamo notare, i risultati sono diversi. Da questo si deduce che il peso non è sempre uguale se si cambia la forza gravitazionale, per esempio cambiando pianeta.
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La forza elastica
Quando noi allunghiamo una molla, sentiamo come una forza che tende a riportare la molla alla condizione iniziale. Questa viene chiamata forza elastica, ed è uguale e contraria alla forza da noi esercitata.
La legge di Hooke
DEFINIZIONE 5.4 – Legge di Hooke
Una molla esercita una forza elastica la cui intensità F è direttamente proporzionale all’allungamento o alla compressione della molla x (o Δl) della molla.
Infatti dopo aver letto la definizione si deduce la formula:
F=kx=k∙Δl
(EQUAZIONE 5.4– Legge di Hooke)
Questo succede perché se l’allungamento ad esempio raddoppiasse, anche l’intensità della forza che tende a portare la molla alla posizione iniziale raddoppierebbe.
La forza d’attrito
Ogni superficie, seppur classificata come liscia, non è mai perfettamente liscia, anche se all’apparenza lo può sembrare, vista al microscopio è scabra e dentellata. Infatti, se con una forza motrice si mette in moto un oggetto che “striscia” contro il tavolo, si parla di attrito radente, mentre se rotola sulla superficie, si parla di attrito volvente. C’è anche un altro attrito, quello viscoso, che entra in azione se un corpo entra in contatto con un fluido (liquido o gas).
L’attrito può anche essere suddiviso in dinamico:
DEFINIZIONE 5.5 – Attrito dinamico
L’attrito dinamico si oppone allo scorrimento di un corpo su una superficie.
E in statico:
DEFINIZIONE 5.6 – Attrito statico
L’attrito statico si oppone al distacco di un corpo da una superficie.
Calcolare l’attrito
Per calcolare l’attrito, la formula è uguale per tutti i tipi, statici e dinamici:
F_attrito=μ∙F_⊥, con μ come coefficiente d’attrito e con F_⊥ come forza premente sulla superficie.
(EQUAZIONE 5.5 – Formula attrito)
Cosa cambia però, tra quello statico e quello dinamico? Cambia solamente il coefficiente d’attrito. Di seguito una tabella di alcuni coefficienti statici e dinamici per alcuni materiali:
Materiali Coefficienti dinamici Coefficienti statici
Gomma su cemento (asciutto) 0,80 1
Acciaio su acciaio 0,57 0,74
Vetro su vetro 0,40 0,94
Legno su pelle 0,40 0,50
Gomma su cemento (bagnato) 0,25 0,30
Sci sciolinati su neve 0,05 0,10
Articolazione del ginocchio 0,003 0,01
TABELLA5.2–Esempi di coefficienti di attrito statici e dinamici per vari materiali
La forza di attrito è una grandezza vettoriale che ha direzione parallela al piano e verso opposto al verso di scorrimento.
L’attrito dinamico
L’attrito dinamico è un po’ più complicato da calcolare di quello statico. Bisogna da subito mettere in chiaro alcune situazioni. Se le forze in gioco sono solo attrito e peso, allora solo il peso contribuisce all’attrito. Ma se per esempio, facciamo forza sul corpo, oltre al peso ci sarà la nostra forza a contribuire. Infine se si usa un piano inclinato, l’unica forza che contribuisce all’attrito è la P_⊥.
Leggi empiriche dell’attrito dinamico
Prima di elencare queste leggi, bisogna prima capire bene il significato di leggi empiriche:
DEFINIZIONE 5.7 – Leggi empiriche
Le leggi empiriche sono leggi che vengono elaborate in base a ciò che si studia.
Riassumendo, quindi, la forza di attrito dinamico tra un corpo e una superficie:
È parallela alla superficie di contatto e il suo verso è opposto a quello dello scivolamento del corpo sulla superficie
È indipendente dall’area della superficie di contatto e della velocità del corpo;
È proporzionale alla forza premente sulla superficie,F_d=μ_d∙F_⊥.
L’attrito statico
L’attrito statico può essere maggiore di quello dinamico, questo perché immaginiamo un corpo fermo: ha attrito uguale a 0. Ma se noi lo tiriamo, ci sarà un periodo in cui noi esercitiamo una forza ma lui non si sposta. L’attrito statico raggiunge il valore massimo quando l’oggetto è sul punto di muoversi ma è ancora fermo. Appena si mette in moto, diventa dinamico. Nell’EQUAZIONE 5.5capiamo che la formula serve per calcolare l’attrito statico massimo.
Leggi empiriche dell’attrito statico
La forza di attrito statico tra un corpo e una superficie:
È parallela alla superficie di contatto e il suo verso è opposto a quello in cui si muoverebbe il corpo in assenza di attrito;
È indipendente dall’area della superficie di contatto;
Può assumere qualsiasi valore tra 0 e la forza massima di attrito statico F_(s,max)=μ_s∙F_⊥.

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