Modulo di Young: descrizione

In questo appunto di Fisica si tratta il modulo di Young introducendo la deformazione di corpi e le tensioni che ne sono causa.

Deformazioni dei corpi

Sotto l’azione di forze esterne ogni corpo esistente in natura si deforma. Nel momento in cui tali forze cessano di agire, il corpo tende a tornare nella suo forma (o configurazione) iniziale.
Tale caratteristica, posseduta da tutti i corpi in diversa misura, prende il nome di elasticità.
In natura non esistono corpi perfettamente elastici, ossia che tornano nella configurazione iniziale dopo aver subito una qualunque sollecitazione, né corpi perfettamente anelastici, ossia tali che non si deformano sotto l’azione di sollecitazioni.
In base a tali osservazioni si può pensare che la deformazione di un corpo si distingua in due parti:

• deformazione elastica;
• deformazione permanente.

La deformazione elastica scompare nel momento in cui si annullano le sollecitazioni sul corpo che l’hanno prodotta. La deformazione permanente (o plastica) non scompare al cessare delle sollecitazioni che l’hanno generata.
L’esperienza ci insegna che per alcune categorie di corpi, se la sollecitazione rimane contenuta entro certi limiti, la deformazione permanente è trascurabile, ossia talmente piccola che il suo contributo nello studio del corpo è ininfluente.
Entro tale limite, cui diamo il nome di limite di elasticità, tale corpi possono essere considerati elastici, poiché si annulla la deformazione nel momento in cui cessa la sollecitazione.
Per cui chiameremo deformazioni elastiche, tutte quelle deformazioni che scompaiono nel momento in cui cessa di agire la sollecitazione che le ha provocate e le cui dimensioni sono trascurabili rispetto al corpo oggetto del nostro studio.

Forza elastica e Legge di Hooke

La Legge di Hooke asserisce che:

ossia la sollecitazione (forza) che genera una data deformazione elastica è direttamente proporzionale alla stessa deformazione.
La costante k, rappresenta la rigidezza del corpo supposto elastico e ne quantifica la sua elasticità.
Maggiore è il valore della costante di rigidezza, maggiore deve essere la forza per provocare una deformazione,

La sua unità di misura nel Sistema Internazionale è

(Newton su metri).
Il modulo di tale forza è dato da:

La direzione dipende da come agisce la sollecitazione deformante, mentre il verso è sempre tale da opporsi alla deformazione.
Da esperienze di laboratorio si nota che se sottoponiamo un corpo ad una data sollecitazione gradatamente crescente e ne misuriamo le deformazioni, queste, inizialmente, crescono in modo proporzionale alla sollecitazione stessa.
Successivamente, per valori più grandi della sollecitazione, la deformazione cresce più rapidamente e non rispetta più la proporzionalità con la sollecitazione.
Se ne conclude che se la sollecitazione non supera un dato limite, che chiameremo limite di proporzionalità, l’entità della deformazione rimane proporzionale alla sollecitazione che l’ha provocata.

Teoria dell’elasticità

Definiamo corpi elastici tutti quei corpi che subiscono deformazioni tali che:

• le dimensioni delle deformazioni sono trascurabili rispetto alle dimensioni del corpo in esame;
• sono totalmente elastiche;
• variano secondo la Legge di Hooke.

Non esistono corpi perfettamente elastici, tuttavia nei limiti descritti, molti corpi si possono considerare tali. Supporremo inoltre che i corpi oggetto del nostro studio siano isotropi, ossia che le loro proprietà elastiche siano uguali in tutte le direzioni dello spazio.
Le ipotesi appena esposte discostano in maniera piuttosto decisa dai casi reali di deformazione dei corpi, ma sono necessarie per creare dei modelli di riferimento, per la realizzazione dei casi reali.

Tensioni interne

Note tutte le forze agenti su di un corpo, comprese le reazioni vincolari che ne permettono o precludono alcuni movimenti, cerchiamo di definire le tensioni esistenti all’interno di esso.
Si consideri un corpo qualunque e per un suo punto generico nell’interno si immagini di tracciare un elemento piano di superficie arbitrariamente orientato. Attraverso questo elemento di materiale da una sua parte si esercita la forza o tensione, generalmente obliqua all’elemento, e dall’altra parte questo esercita sul primo una tensione uguale e contraria.
La tensione ha due componenti:

• una normale all’elemento, chiamata tensione normale,
  [math]
  \sigma
  [/math]
  ;
• una giacente su di esso, chiamata tensione tangenziale,
  [math]
  \tau.
  [/math]

Entrambe queste due componenti si intendono riferite all’unità di area dell’elemento stesso.
Le tensioni unitarie e sono i valori delle forze che si trasmettono attraverso un’area unitaria, quando la loro distribuzione è uniforme; sono invece i quozienti delle forze attraverso un elemento infinitesimo nell’intorno del punto e dell’area dell’elemento, quando la distribuzione è variabile.
Le tensioni e , variabili in generale da punto a punto del corpo e per i diversi orientamenti dell’elemento superficiale, caratterizzano lo stato di tensione del corpo.

Il modulo di Young

Si consideri un corpo elastico costituito da una barra rettilinea in acciaio di sezione costante, di peso trascurabile. Supponiamo che un estremo di tale sbarra sia vincolato in modo da non subire spostamenti, mentre all’estremo libero applichiamo una forza di trazione N, che chiameremo sforzo normale, applicata lungo l’asse longitudinale della barra (passante per il baricentro della sezione).
Tale sforzo normale (assiale) risulta costante in tutte le sezioni.
Sia x l’asse della barra, in ogni sezione retta di area A si hanno le tensioni normali (dirette secondo l’asse x) la cui risultante deve fare equilibrio allo sforzo normale N, per cui la risultante deve avere la stessa direzione di x ed il suo modulo è dato da:

Tale relazione non definisce la distribuzione delle

nella sezione ed il loro valore in ogni punto della stessa, a tal fine si deve aggiungere una condizione di carattere qualitativo: si suppone che durante la deformazione (allungamento) della barra le sezioni rette, inizialmente piane, rimangano tali e parallele, ossia tutte le fibre longitudinali del materiale che costituiscono la barra si allunghino allo stesso modo e della stessa lunghezza. Quindi tali fibre risultano tutte tese allo stesso modo, per cui la tensione si può considerare costante su tutta la sezione:

dove A è la sezione retta della barra.
L’ipotesi appena fatta di allungamento uniforme delle fibre e della conseguente uniforme distribuzione della tensione è corretta quando le forze esterne siano anch’esse uniformemente distribuite.
Le sezioni longitudinali della barra, parallele all’asse x non sono soggette ad alcuna tensione.
Lo sforzo normale, N, agente sulla barra fa variare la lunghezza della stessa e l’entità della deformazione che tale barra subisce non è caratterizzato dalla variazione

della lunghezza l della trave, poiché uno stesso è più importante in una sbarra corta che in una lunga, ma dall’allungamento o accorciamento unitario (per unità di lunghezza):

dove abbiamo supposto che l’asse delle x coincida con l’asse geometrico della sbarra considerata.
La quantità

viene definita dilatazione nella direzione delle x ed essendo il rapporto di due lunghezze è rappresentata da un numero puro, per cui è indipendente dall’unità di misura sia di l che di

In base alla legge di Hooke sappiamo che, se non viene oltrepassato il limite di proporzionalità, la dilatazione è proporzionale alla tensione che la provoca, quindi abbiamo che:

ossia

dove il numero E rappresenta il fattore di proporzionalità fra

e e prende il nome di modulo di elasticità normale o modulo di Young del materiale della sbarra (dell’acciaio nel caso dell’esempio preso in esame).
Sapendo che la variazione di lunghezza della trave è data da

e sapendo che

e che

si ottiene che

Le precedenti espressioni per

e valgono sia nel caso che N sia una forza di tensione sia nel caso in cui sia di compressione: nel primo caso considereremo lo sforzo normale positivo e nel secondo caso lo considereremo negativo e lo stesso segno verrà attribuito alle tensioni

Il modulo di Young risulta definito da:

che rappresenta il rapporto costante (purché si rimanga entro il limite di proporzionalità) fra la tensione e la corrispondente dilatazione.
L’espressione appena definita per la grandezza E vale nel caso in cui il corpo elastico esaminato sia soggetto ad una forza di trazione o compressione. Tale espressione varia e si complica moltissimo se la sollecitazione cui è soggetto il corpo non è unidimensionale, poiché in questo caso variano moltissimo, complicandosi, le tensioni

cui è soggetto il corpo.
Il valore del modulo di elasticità E varia a seconda del materiale di cui è fatto la barra e viene determinato sperimentalmente in laboratorio per ciascun materiale il cui utilizzo risulta di particolare interesse.
Le dimensioni sono quelle di una tensione:

Esempio di calcolo

Si considerino due barre di ferro tondo aventi un diametro di 2 cm ed una lunghezza di 5m.
Le due barre hanno un estremo in comune, C, tramite una cerniera, mentre l’altro estremo di ciascuna sbarra ( A e B) è fissato a due pareti parallele. Nel punto centrale, quello in comune fra le due barre, C, si applica un peso P, avente massa m = 500Kg, in modo tale da provocare una deformazione verso il basso delle due barre, tale che queste formano un angolo

Si vuole calcolare l’abbassamento dell’estremo comune, C, \beta.
Svolgimento
Nella configurazione deformata di equilibrio, considerando il triangolo ABC, si ha che:

ossia

Sia

l’abbassamento che ha subito l’estremo C, mentre è l’allungamento di ciascuna asta, sia ha che:

per cui sapendo che

e che

si ottiene che

e quindi

Sapendo che per il materiale considerato (ferro) il modulo di elasticità è pari a

e sostituendo i valori numerici forniti dal problema si ottiene:

da cui

per ulteriori approfondimenti sul modulo di elasticità vedi anche qua