Campo elettrico generato da densità di carica e teorema di Gauss, forme

In questo appunto vengono analizzati e descritti il teorema di Gauss e l'applicazione di tale teorema per il calcolo del campo elettrico generato da distribuzioni di carica particolari (sfera, filo, superficie piana).

Linee di campo

Per osservare l’andamento nello spazio del campo elettrico E si costruiscono le cosiddette linee di campo. Queste si costruiscono spostando la carica di prova q di volta in volta nel verso del campo elettrico, fino ad avere una serie di linee spezzate che, se considerate come infinitesime, possiamo descrivere con una linea curva. Affermiamo quindi che una linea di campo è una linea orientata le cui rette tangenti in ogni suo punto indicano la direzione del vettore campo elettrico.

Per ulteriori approfondimenti sul campo elettrico vedi anche qua

Il flusso

Il flusso di un liquido attraverso una superficie dipende dalla velocità del liquido e dalla sezione del tubo, cioè la superficie attraversata dal liquido in movimento. Si definisce quindi la portata P del tubo, cioè la quantità di liquido che passa dal tubo ogni secondo, come P=vS
Per calcolare il valore del flusso è necessario introdurre un secondo vettore, il vettore velocità: il versore n ovvero un vettore di modulo unitario perpendicolare alla superficie. Se α è l’angolo tra v ed n, definiamo allora il flusso del vettore velocità del liquido come il prodotto scalare del vettore velocità v e del versore n, moltiplicato per il valore S della superficie: φ = v n S = v S cosα

Il flusso del campo elettrico E attraverso una superficie S è il prodotto scalare del vettore E e del versore n, perpendicolare alla superficie, moltiplicato per il valore S della superficie:

Se la superficie non è piana e il campo non è costante, è necessario suddividere idealmente la superficie in parti molto piccole, in modo da poterle considerare piane e da poter considerare il campo costante su ognuna di esse. Su ciascuna superficie ΔSi possiamo così calcolare il flusso infinitesimo φi = Ei ni ΔSi e sommando i flussi attraverso tutte le singole superfici si ha φE = Σ Δφi

Il teorema di Gauss

Sapendo che il campo elettrico è uguale per tutti i punti della sfera, si può scrivere:
φE = Σ Δφi = E (ΔS1 + ΔS2 + ΔS3 + …) = ES
dove S è l’intera superficie sferica, uguale a

.

Possiamo quindi riscrivere il flusso del campo elettrico come:

Il flusso quindi non dipende dal raggio della sfera, ma solo dalla carica sorgente del campo e dal mezzo. Se la carica è positiva il flusso è positivo (uscente), se è negativa è negativo (entrante).

Il teorema di Gauss afferma quindi che il flusso φE del campo elettrico E attraverso una superficie chiusa è uguale alla somma algebrica delle cariche contenute all’interno della superficie, diviso la costante elettrica del mezzo in cui si trovano le cariche.
Se si trovano nel vuoto si ha:

Campi a simmetria sferica

Vi è un’importante applicazione del teorema di Gauss relativamente a un campo elettrico generato da una carica Q distribuita uniformemente in una sfera (sostanzialmente una sfera omogenea di carica Q). Data la simmetria sferica del problema, il campo elettrico E:

• È diretto radialmente, cioè presenta una simmetria sferica
• Ha un’intensità uguale in tutti i punti equidistanti dal centro della sfera
• Ha verso uscente, se si considera Q positiva

Per calcolare l’intensità del campo, applicando il teorema di Gauss, si deve calcolare il flusso attraverso un’opportuna superficie chiusa. Prendendo una superficie sferica ideale di raggio r concentrica alla sfera di carica Q e che la racchiuda completamente e calcoliamo il flusso del vettore campo elettrico E:

si ha quindi:

Cioè la stessa espressione del vettore campo elettrico generato da una carica puntiforme, posta al centro della sfera.

Campo elettrico generato da una distribuzione lineare omogenea e infinita di carica

Consideriamo una distribuzione lineare omogenea di carica, cioè che abbia una densità lineare di carica λ costante. Indicando con l la lunghezza della distribuzione e con Q la carica, la densità è definita come

La distribuzione lineare delle cariche implica che in ogni punto dello spazio il campo sia perpendicolare alla direzione della distribuzione di carica e abbia uguale intensità in tutti i punti equidistanti dalla distribuzione.
Scegliamo una superficie cilindrica con asse coincidente con la distribuzione di carica, altezza h e raggio r. Il campo ha infatti una simmetria di tipo cilindrico, cioè la distribuzione di carica è invariante per traslazioni della direzione definita dalla distribuzione di carica e rotazioni con asse coincidente con la distribuzioni di carica. Il flusso del campo elettrico è nullo attraverso le basi del cilindro perché esso è parallelo ad essere; il flusso totale è dato perciò dal flusso attraverso la superficie laterale SL del cilindro:
φE = E SL = E2πrh
dove E è il valore del modulo del campo elettrico. D’altra parte, applicando il teorema di Gauss si ottiene:

uguagliando le due equazioni si ottiene che

Campo elettrico generato da distribuzioni piane infinite di carica

Studiamo ora il campo generato da una distribuzione piana infinita omogenea di carica, cioè una distribuzione che abbia una densità superficiale di carica σ costante per cui

Supponiamo che le cariche siano positive ed occupino un piano infinito.
Sapendo che

• Il campo è simmetrico rispetto al piano che contiene la distribuzione, perciò il vettore campo elettrico è perpendicolare al piano della distribuzione e con modulo uguale in punti equidistanti dalla distribuzione e di verso opposto nei due semipiani
• La distribuzione è invariante per traslazioni in qualunque direzione parallela al piano della distribuzione

Per calcolare il campo elettrico in un punto P che si trovi a distanza d dal piano non resta che applicare il teorema di Gauss e calcolare il flusso del campo elettrico attraverso un cilindro, questa volta disposto perpendicolarmente al piano di distribuzione delle cariche. Il flusso è nullo attraverso la superficie laterale; l’unico flusso si ha attraverso le due basi, per cui:
φE = E2S (S: superficie di base del cilindro)
Applicando il teorema di Gauss e ricordando la definizione di densità superficiale di carica, si ottiene:

si ha così il campo generato da una distribuzione superficiale di carica di densità σ:

Il vettore campo elettrico generato dalla doppia distribuzione di cariche è, in ogni punto, dato dalla somma vettoriale dei due campi creati. Perciò nei punti esterni alle due distribuzioni esso è nullo, mentre in quelli interni è doppio, quindi:

L’energia potenziale e il potenziale gravitazionale

Il campo gravitazionale è conservativo perché è conservativa la forza gravitazionale. Considerato ciò, è possibile definire, per una massa puntiforme M, una funzione energia potenziale che ha l’espressione:

È possibile definire una funzione, il potenziale gravitazionale, che è indipendente dalla massa di prova m:

Il potenziale, come il campo, dipende solamente dalla massa sorgente del campo e dalla sua posizione. Il potenziale gravitazionale, come l’energia potenziale, è definito a meno di una costante, scelta in modo che il potenziale si annulli quando il corpo è posto a distanza infinita dalla massa M.
L’unità di misura del potenziale gravitazionale è J/kg.
La conoscenza del potenziale permette di calcolare l’energia potenziale gravitazionale di un qualunque corpo di massa m posto in un campo gravitazionale in un punto A rispetto al livello di riferimento attraverso la relazione U(A) = m V(A).

Per ulteriori approfondimenti sull'energia potenziale gravitazionale vedi anche qua

L’energia potenziale e il potenziale elettrico

Anche per il campo elettrico è possibile definire una funzione energia potenziale elettrica. Attraverso questa funzione possiamo esprimere il lavoro della forza elettrica per spostare una carica q da un punto A a un punto B distanti rispettivamente

ed

da una carica Q sorgente del campo.
Il lavoro per spostare la carica q dal punto A al punto B nel vuoto è uguale alla differenza tra le energie potenziali elettriche calcolate nei punti A e B:

Per cui:

Posta uguale a zero l’energia potenziale di una carica posta a distanza infinita dalla carica sorgente Q:
U(B) = 0 quando

-> ∞
Si ha:

In cui U rappresenta il lavoro compiuto dalla forza elettrica per portare la carica q dal punto A ad una distanza infinita. Se sono presenti più cariche elettriche, l’energia potenziale del sistema di cariche è data dal lavoro necessario per costruire il sistema portando ogni singola carica da un punto infinitamente distante al punto da essa occupato. Questo lavoro è uguale alla somma delle energie potenziali dovute a tutte le possibili coppie di cariche.

È possibile definire una funzione, il potenziale elettrico di una carica puntiforme in un punto P, come il rapporto tra l’energia potenziale e la carica posta nel punto; nel vuoto è uguale a:

unità di misura: volt (V = J/C)

Le superfici equipotenziali

È utile rappresentare graficamente l’andamento del potenziale attraverso le superfici equipotenziali; una superficie equipotenziale è il luogo dei punti aventi uno stesso valore del potenziale.
Per ogni campo elettrico esistono infinite superfici equipotenziali, corrispondenti a tutti i possibili valori che il potenziale assume nello spazio. Il lavoro compiuto da una forza elettrica per spostare una carica su una superficie equipotenziale da un punto A ad un punto B è nullo in quanto

in quanto V(A) = V(B).
Sapendo quindi che il lavoro è definito come
L = F s = q E s cosα
e che esso si annulla per α = 90° si conclude che il vettore campo elettrico è perpendicolare in ogni punto alle superfici equipotenziali.

CAMPO COSA LO CREA? DA COSA DIPENDE? RELAZIONE
Gravitazionale (g) Massa (m) Distanza (r) g = (G m)/r^2
Elettrico (E) Carica (q) Distanza (r)
Caratteristiche del mezzo (k) E = (k q)/r^2