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Proporzioni - Calcolo del termine incognito

Appunto esplicativo di matematica in cui vengono riportati degli esempi relativi alle proporzioni, sul calcolo del termine incognito nelle proporzioni.

E io lo dico a Skuola.net
Calcolo del termine incognito nelle proporzioni

Ecco come trovare il termine incognito (chiamato anche X) in una proporzione matematica di cui si conoscono i restanti termini. Per poter calcolare il termine incognito è possibile ricorrere alla proprietà fondamentale delle proporzioni secondo la quale il prodotto dei termini medi è uguale a quello degli estremi.

In questo testo viene quindi presentato il calcolo dell'incognita nelle proporzioni matematiche, attraverso delle espressioni matematiche. Prendiamo in esame la seguente proporzione e cerchiamo di trovare un modo per conoscere il valore del suo termine incognito aiutandoci con la proprietà fondamentale qui presentata:

[math]36 : 9 = 24 : x\ \rightarrow\ 36 * x = 9 * 24[/math]


Da cui si ricava:
[math]{x} = \frac{9 * 24} {36} = {6}[/math]

Il risultato finale perciò è:
[math]36 : 9 = 24 : 6[/math]
.
Verifichiamo:
[math]36 * 6 = 216 ,\ 9 * 24 = 216[/math]
.
Grazie a queste espressioni matematiche abbiamo ottenuto una proporzione, perciò possiamo affermare che in una proporzione il valore di un estremo incognito è uguale al prodotto dei medi diviso per l’altro estremo.
Il procedimento che viene utilizzato per calcolare il valore di un medio incognito è analogo. Per spiegarlo usiamo la seguente proporzione:

[math]25 : 5 = x : 20[/math]
Applichiamo in questo caso la proprietà fondamentale:

2
[math]5 * 20 = 5 * x[/math]

Da cui si ottiene:
[math]{x} = \frac{25 * 20} {5} = {100}[/math]

Il risultato finale che si ottiene quindi è:
[math]25 : 5 = 100 : 20[/math]
.
Controlliamo bene:
[math]25 * 20 = 500 ,\ 5 * 100 = 500[/math]
.
Abbiamo ottenuto una proporzione: possiamo quindi enunciare la regola: in una proporzione il valore di un medio incognito è uguale al prodotto degli estremi diviso l’altro medio.

Non molto diverso risulta essere il procedimento per ottenere il calcolo del termine incognito di una proporzione continua. Consideriamo quindi la seguente proporzione continua:

[math]x : 15 = 15 : 5[/math]

Applichiamo quindi ora la proprietà fondamentale:

[math]{x * 5} = {15 * 15}[/math]
ovvero
[math]{x * 5} = {15^2}[/math]
da cui ricaviamo:
[math]{x} = \frac{15^2} {5} = \frac{225} {5} = {45}[/math]

Il risultato finale che si ottiene è perciò
[math]45 : 15 = 15 : 5[/math]
.
Accertiamoci di aver seguito il procedimento esatto:
[math]45 * 5 = 225 ,\ 15^2 = 225[/math]
.
Anche stavolta abbiamo ottenuto una proporzione: quindi si può affermare che in una proporzione continua il valore di un estremo incognito è uguale al medio proporzionale elevato al quadrato e diviso per l’altro estremo.

Adesso cerchiamo una regola che ci permetta di individuare il medio proporzionale di una proporzione continua. Consideriamo questa proporzione ed applichiamo la proprietà fondamentale:

[math]28 : x = x : 7 \ \rightarrow\ 28 * 7 = x * x[/math]
cioè
[math]{28 * 7} = {x^2}[/math]

Dato che l’operazione inversa dell’elevamento al quadrato è l’estrazione di radice quadrata otteniamo:
[math]{x} = \sqrt{28 * 7} = \sqrt{196} = {14}[/math]

Quindi la proporzione è:
[math]28 : 14 = 14 : 7[/math]
Verifichiamo:
[math]28 * 7 = 196[/math]
e
[math]{14^2}=196[/math]
.
Quindi possiamo affermare che in una proporzione continua il valore del medio proporzionale è uguale alla radice quadrata del prodotto degli estremi. Ecco spiegato il calcolo incognito nell'ambito delle proporzioni.
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